Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90466 / 57825
↖ ↑ ↗
← N 20.712446°
E 68.472290°		 ← 285.63 m → N 20.712446°
E 68.475036°		 →
↑
285.68 m
↓
↑
285.68 m
↓
N 20.709877°
E 68.472290°		 ← 285.63 m →
81 597 m²		 N 20.709877°
E 68.475036°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90466 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690204620361328 y=0.441173553466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690204620361328 × 217)
    floor (0.690204620361328 × 131072)
    floor (90466.5)     		tx = 90466
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441173553466797 × 217)
    floor (0.441173553466797 × 131072)
    floor (57825.5)     		ty = 57825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90466 / 57825 ti = "17/90466/57825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90466/57825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90466 ÷ 217
    90466 ÷ 131072     		x = 0.690200805664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57825 ÷ 217
    57825 ÷ 131072     		y = 0.441169738769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.690200805664062 × 2 - 1) × π
    0.380401611328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.19506691
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441169738769531 × 2 - 1) × π
    0.117660522460938 × 3.1415926535     		Φ = 0.369641432970253
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19506691} λ = 1.19506691}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.369641432970253))-π/2
    2×atan(1.44721559781941)-π/2
    2×0.966148353725017-π/2
    1.93229670745003-1.57079632675     		φ = 0.36150038
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19506691} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.472290°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36150038 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.712446°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90466 KachelY 57825 1.19506691 0.36150038 68.472290 20.712446
    Oben rechts KachelX + 1 90467 KachelY 57825 1.19511484 0.36150038 68.475036 20.712446
    Unten links KachelX 90466 KachelY + 1 57826 1.19506691 0.36145554 68.472290 20.709877
    Unten rechts KachelX + 1 90467 KachelY + 1 57826 1.19511484 0.36145554 68.475036 20.709877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36150038-0.36145554) × R
    4.48399999999904e-05 × 6371000     		dl = 285.675639999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36150038-0.36145554) × R
    4.48399999999904e-05 × 6371000     		dr = 285.675639999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19506691-1.19511484) × cos(0.36150038) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.935367225244861 × 6371000     		do = 285.625634696413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19506691-1.19511484) × cos(0.36145554) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.935383083227703 × 6371000     		du = 285.630477122245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36150038)-sin(0.36145554))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935367225244861-0.935383083227703)×R²
    abs(1.19511484-1.19506691)×1.58579828422045e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.58579828422045e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.58579828422045e-05×40589641000000     		ar = 81596.9776875535m²