Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 90460 / 57828
↖ ↑ ↗
← N 20.704739°
E 68.455811°		 ← 285.64 m → N 20.704739°
E 68.458557°		 →
↑
285.68 m
↓
↑
285.68 m
↓
N 20.702169°
E 68.455811°		 ← 285.65 m →
81 601 m²		 N 20.702169°
E 68.458557°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90460 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57828 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690158843994141 y=0.441196441650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690158843994141 × 217)
    floor (0.690158843994141 × 131072)
    floor (90460.5)     		tx = 90460
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441196441650391 × 217)
    floor (0.441196441650391 × 131072)
    floor (57828.5)     		ty = 57828
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90460 / 57828 ti = "17/90460/57828"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90460/57828.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90460 ÷ 217
    90460 ÷ 131072     		x = 0.690155029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57828 ÷ 217
    57828 ÷ 131072     		y = 0.441192626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.690155029296875 × 2 - 1) × π
    0.38031005859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.19477929
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441192626953125 × 2 - 1) × π
    0.11761474609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.369497622271393
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19477929} λ = 1.19477929}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.369497622271393))-π/2
    2×atan(1.44700748769747)-π/2
    2×0.966081094107571-π/2
    1.93216218821514-1.57079632675     		φ = 0.36136586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19477929} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.455811°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36136586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.704739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90460 KachelY 57828 1.19477929 0.36136586 68.455811 20.704739
    Oben rechts KachelX + 1 90461 KachelY 57828 1.19482722 0.36136586 68.458557 20.704739
    Unten links KachelX 90460 KachelY + 1 57829 1.19477929 0.36132102 68.455811 20.702169
    Unten rechts KachelX + 1 90461 KachelY + 1 57829 1.19482722 0.36132102 68.458557 20.702169
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36136586-0.36132102) × R
    4.48399999999904e-05 × 6371000     		dl = 285.675639999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36136586-0.36132102) × R
    4.48399999999904e-05 × 6371000     		dr = 285.675639999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19477929-1.19482722) × cos(0.36136586) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.93541479355124 × 6371000     		do = 285.640160251012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19477929-1.19482722) × cos(0.36132102) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.935430645891871 × 6371000     		du = 285.645000953928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36136586)-sin(0.36132102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93541479355124-0.935430645891871)×R²
    abs(1.19482722-1.19477929)×1.58523406311728e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.58523406311728e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.58523406311728e-05×40589641000000     		ar = 81601.1270385474m²