Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 90458 / 57356
↖ ↑ ↗
← N 21.912471°
E 68.450317°		 ← 283.36 m → N 21.912471°
E 68.453064°		 →
↑
283.38 m
↓
↑
283.38 m
↓
N 21.909923°
E 68.450317°		 ← 283.37 m →
80 300 m²		 N 21.909923°
E 68.453064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90458 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57356 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690143585205078 y=0.437595367431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690143585205078 × 217)
    floor (0.690143585205078 × 131072)
    floor (90458.5)     		tx = 90458
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437595367431641 × 217)
    floor (0.437595367431641 × 131072)
    floor (57356.5)     		ty = 57356
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90458 / 57356 ti = "17/90458/57356"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90458/57356.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90458 ÷ 217
    90458 ÷ 131072     		x = 0.690139770507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57356 ÷ 217
    57356 ÷ 131072     		y = 0.437591552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.690139770507812 × 2 - 1) × π
    0.380279541015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.19468341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437591552734375 × 2 - 1) × π
    0.12481689453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.392123838892059
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19468341} λ = 1.19468341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.392123838892059))-π/2
    2×atan(1.48012099659747)-π/2
    2×0.976620546078194-π/2
    1.95324109215639-1.57079632675     		φ = 0.38244477
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19468341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.450317°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38244477 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.912471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90458 KachelY 57356 1.19468341 0.38244477 68.450317 21.912471
    Oben rechts KachelX + 1 90459 KachelY 57356 1.19473135 0.38244477 68.453064 21.912471
    Unten links KachelX 90458 KachelY + 1 57357 1.19468341 0.38240029 68.450317 21.909923
    Unten rechts KachelX + 1 90459 KachelY + 1 57357 1.19473135 0.38240029 68.453064 21.909923
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38244477-0.38240029) × R
    4.44800000000134e-05 × 6371000     		dl = 283.382080000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38244477-0.38240029) × R
    4.44800000000134e-05 × 6371000     		dr = 283.382080000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19468341-1.19473135) × cos(0.38244477) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.927755045977215 × 6371000     		do = 283.360271457452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19468341-1.19473135) × cos(0.38240029) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.927771644538638 × 6371000     		du = 283.365341085357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38244477)-sin(0.38240029))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927755045977215-0.927771644538638)×R²
    abs(1.19473135-1.19468341)×1.65985614221098e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.65985614221098e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.65985614221098e-05×40589641000000     		ar = 80299.9414491109m²