Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90456 / 57785
↖ ↑ ↗
← N 20.815174°
E 68.444824°		 ← 285.49 m → N 20.815174°
E 68.447571°		 →
↑
285.48 m
↓
↑
285.48 m
↓
N 20.812607°
E 68.444824°		 ← 285.50 m →
81 504 m²		 N 20.812607°
E 68.447571°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690128326416016 y=0.440868377685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690128326416016 × 217)
    floor (0.690128326416016 × 131072)
    floor (90456.5)     		tx = 90456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440868377685547 × 217)
    floor (0.440868377685547 × 131072)
    floor (57785.5)     		ty = 57785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90456 / 57785 ti = "17/90456/57785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90456/57785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90456 ÷ 217
    90456 ÷ 131072     		x = 0.69012451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57785 ÷ 217
    57785 ÷ 131072     		y = 0.440864562988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.69012451171875 × 2 - 1) × π
    0.3802490234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.19458754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440864562988281 × 2 - 1) × π
    0.118270874023438 × 3.1415926535     		Φ = 0.371558908955055
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19458754} λ = 1.19458754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.371558908955055))-π/2
    2×atan(1.44999326117339)-π/2
    2×0.967044821327248-π/2
    1.9340896426545-1.57079632675     		φ = 0.36329332
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19458754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.444824°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36329332 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.815174°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90456 KachelY 57785 1.19458754 0.36329332 68.444824 20.815174
    Oben rechts KachelX + 1 90457 KachelY 57785 1.19463548 0.36329332 68.447571 20.815174
    Unten links KachelX 90456 KachelY + 1 57786 1.19458754 0.36324851 68.444824 20.812607
    Unten rechts KachelX + 1 90457 KachelY + 1 57786 1.19463548 0.36324851 68.447571 20.812607
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36329332-0.36324851) × R
    4.48099999999507e-05 × 6371000     		dl = 285.484509999686m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36329332-0.36324851) × R
    4.48099999999507e-05 × 6371000     		dr = 285.484509999686m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19458754-1.19463548) × cos(0.36329332) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.934731598653574 × 6371000     		do = 285.491090221286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19458754-1.19463548) × cos(0.36324851) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.934747521151396 × 6371000     		du = 285.495953361966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36329332)-sin(0.36324851))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934731598653574-0.934747521151396)×R²
    abs(1.19463548-1.19458754)×1.59224978217853e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.59224978217853e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.59224978217853e-05×40589641000000     		ar = 81503.9781903408m²