Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 90453 / 57756
↖ ↑ ↗
← N 20.889607°
E 68.436585°		 ← 285.29 m → N 20.889607°
E 68.439331°		 →
↑
285.36 m
↓
↑
285.36 m
↓
N 20.887041°
E 68.436585°		 ← 285.30 m →
81 410 m²		 N 20.887041°
E 68.439331°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57756 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690105438232422 y=0.440647125244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690105438232422 × 217)
    floor (0.690105438232422 × 131072)
    floor (90453.5)     		tx = 90453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440647125244141 × 217)
    floor (0.440647125244141 × 131072)
    floor (57756.5)     		ty = 57756
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90453 / 57756 ti = "17/90453/57756"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90453/57756.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90453 ÷ 217
    90453 ÷ 131072     		x = 0.690101623535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57756 ÷ 217
    57756 ÷ 131072     		y = 0.440643310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.690101623535156 × 2 - 1) × π
    0.380203247070312 × 3.1415926535     		Λ = 1.19444373
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440643310546875 × 2 - 1) × π
    0.11871337890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.372949079044037
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19444373} λ = 1.19444373}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.372949079044037))-π/2
    2×atan(1.45201040019261)-π/2
    2×0.967694378645415-π/2
    1.93538875729083-1.57079632675     		φ = 0.36459243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19444373} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.436585°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36459243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.889607°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90453 KachelY 57756 1.19444373 0.36459243 68.436585 20.889607
    Oben rechts KachelX + 1 90454 KachelY 57756 1.19449166 0.36459243 68.439331 20.889607
    Unten links KachelX 90453 KachelY + 1 57757 1.19444373 0.36454764 68.436585 20.887041
    Unten rechts KachelX + 1 90454 KachelY + 1 57757 1.19449166 0.36454764 68.439331 20.887041
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36459243-0.36454764) × R
    4.47900000000168e-05 × 6371000     		dl = 285.357090000107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36459243-0.36454764) × R
    4.47900000000168e-05 × 6371000     		dr = 285.357090000107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19444373-1.19449166) × cos(0.36459243) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.934269165399404 × 6371000     		do = 285.290328912942m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19444373-1.19449166) × cos(0.36454764) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.934285135167346 × 6371000     		du = 285.2952054737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36459243)-sin(0.36454764))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934269165399404-0.934285135167346)×R²
    abs(1.19449166-1.19444373)×1.59697679420479e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.59697679420479e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.59697679420479e-05×40589641000000     		ar = 81410.3138580361m²