Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90453 / 57749
↖ ↑ ↗
← N 20.907569°
E 68.436585°		 ← 285.26 m → N 20.907569°
E 68.439331°		 →
↑
285.29 m
↓
↑
285.29 m
↓
N 20.905003°
E 68.436585°		 ← 285.26 m →
81 382 m²		 N 20.905003°
E 68.439331°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690105438232422 y=0.440593719482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690105438232422 × 217)
    floor (0.690105438232422 × 131072)
    floor (90453.5)     		tx = 90453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440593719482422 × 217)
    floor (0.440593719482422 × 131072)
    floor (57749.5)     		ty = 57749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90453 / 57749 ti = "17/90453/57749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90453/57749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90453 ÷ 217
    90453 ÷ 131072     		x = 0.690101623535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57749 ÷ 217
    57749 ÷ 131072     		y = 0.440589904785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.690101623535156 × 2 - 1) × π
    0.380203247070312 × 3.1415926535     		Λ = 1.19444373
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440589904785156 × 2 - 1) × π
    0.118820190429688 × 3.1415926535     		Φ = 0.373284637341377
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19444373} λ = 1.19444373}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.373284637341377))-π/2
    2×atan(1.45249771608709)-π/2
    2×0.967851120150806-π/2
    1.93570224030161-1.57079632675     		φ = 0.36490591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19444373} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.436585°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36490591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.907569°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90453 KachelY 57749 1.19444373 0.36490591 68.436585 20.907569
    Oben rechts KachelX + 1 90454 KachelY 57749 1.19449166 0.36490591 68.439331 20.907569
    Unten links KachelX 90453 KachelY + 1 57750 1.19444373 0.36486113 68.436585 20.905003
    Unten rechts KachelX + 1 90454 KachelY + 1 57750 1.19449166 0.36486113 68.439331 20.905003
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36490591-0.36486113) × R
    4.4780000000022e-05 × 6371000     		dl = 285.29338000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36490591-0.36486113) × R
    4.4780000000022e-05 × 6371000     		dr = 285.29338000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19444373-1.19449166) × cos(0.36490591) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.934157342388876 × 6371000     		do = 285.256182411447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19444373-1.19449166) × cos(0.36486113) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.934173321705807 × 6371000     		du = 285.261061888103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36490591)-sin(0.36486113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934157342388876-0.934173321705807)×R²
    abs(1.19449166-1.19444373)×1.59793169313138e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.59793169313138e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.59793169313138e-05×40589641000000     		ar = 81382.3965009029m²