Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90450 / 57750
↖ ↑ ↗
← N 20.905003°
E 68.428345°		 ← 285.26 m → N 20.905003°
E 68.431091°		 →
↑
285.29 m
↓
↑
285.29 m
↓
N 20.902437°
E 68.428345°		 ← 285.27 m →
81 384 m²		 N 20.902437°
E 68.431091°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90450 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690082550048828 y=0.440601348876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690082550048828 × 217)
    floor (0.690082550048828 × 131072)
    floor (90450.5)     		tx = 90450
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440601348876953 × 217)
    floor (0.440601348876953 × 131072)
    floor (57750.5)     		ty = 57750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90450 / 57750 ti = "17/90450/57750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90450/57750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90450 ÷ 217
    90450 ÷ 131072     		x = 0.690078735351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57750 ÷ 217
    57750 ÷ 131072     		y = 0.440597534179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.690078735351562 × 2 - 1) × π
    0.380157470703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.19429992
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440597534179688 × 2 - 1) × π
    0.118804931640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.373236700441757
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19429992} λ = 1.19429992}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.373236700441757))-π/2
    2×atan(1.45242808951873)-π/2
    2×0.967828729655953-π/2
    1.93565745931191-1.57079632675     		φ = 0.36486113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19429992} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.428345°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36486113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.905003°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90450 KachelY 57750 1.19429992 0.36486113 68.428345 20.905003
    Oben rechts KachelX + 1 90451 KachelY 57750 1.19434785 0.36486113 68.431091 20.905003
    Unten links KachelX 90450 KachelY + 1 57751 1.19429992 0.36481635 68.428345 20.902437
    Unten rechts KachelX + 1 90451 KachelY + 1 57751 1.19434785 0.36481635 68.431091 20.902437
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36486113-0.36481635) × R
    4.47799999999665e-05 × 6371000     		dl = 285.293379999787m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36486113-0.36481635) × R
    4.47799999999665e-05 × 6371000     		dr = 285.293379999787m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19429992-1.19434785) × cos(0.36486113) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.934173321705807 × 6371000     		do = 285.261061888103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19429992-1.19434785) × cos(0.36481635) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.934189299149489 × 6371000     		du = 285.26594079274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36486113)-sin(0.36481635))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934173321705807-0.934189299149489)×R²
    abs(1.19434785-1.19429992)×1.59774436817584e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.59774436817584e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.59774436817584e-05×40589641000000     		ar = 81383.7885015897m²