Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90448 / 57937
↖ ↑ ↗
← N 20.424439°
E 68.422851°		 ← 286.22 m → N 20.424439°
E 68.425598°		 →
↑
286.25 m
↓
↑
286.25 m
↓
N 20.421865°
E 68.422851°		 ← 286.23 m →
81 932 m²		 N 20.421865°
E 68.425598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57937 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690067291259766 y=0.442028045654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690067291259766 × 217)
    floor (0.690067291259766 × 131072)
    floor (90448.5)     		tx = 90448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442028045654297 × 217)
    floor (0.442028045654297 × 131072)
    floor (57937.5)     		ty = 57937
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90448 / 57937 ti = "17/90448/57937"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90448/57937.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90448 ÷ 217
    90448 ÷ 131072     		x = 0.6900634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57937 ÷ 217
    57937 ÷ 131072     		y = 0.442024230957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6900634765625 × 2 - 1) × π
    0.380126953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.19420404
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442024230957031 × 2 - 1) × π
    0.115951538085938 × 3.1415926535     		Φ = 0.364272500212807
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19420404} λ = 1.19420404}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.364272500212807))-π/2
    2×atan(1.43946641562271)-π/2
    2×0.963635016927729-π/2
    1.92727003385546-1.57079632675     		φ = 0.35647371
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19420404} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.422851°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35647371 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.424439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90448 KachelY 57937 1.19420404 0.35647371 68.422851 20.424439
    Oben rechts KachelX + 1 90449 KachelY 57937 1.19425198 0.35647371 68.425598 20.424439
    Unten links KachelX 90448 KachelY + 1 57938 1.19420404 0.35642878 68.422851 20.421865
    Unten rechts KachelX + 1 90449 KachelY + 1 57938 1.19425198 0.35642878 68.425598 20.421865
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35647371-0.35642878) × R
    4.49299999999986e-05 × 6371000     		dl = 286.249029999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35647371-0.35642878) × R
    4.49299999999986e-05 × 6371000     		dr = 286.249029999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19420404-1.19425198) × cos(0.35647371) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.937133223407556 × 6371000     		do = 286.22460823765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19420404-1.19425198) × cos(0.35642878) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.937148901764909 × 6371000     		du = 286.229396811547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35647371)-sin(0.35642878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937133223407556-0.937148901764909)×R²
    abs(1.19425198-1.19420404)×1.56783573536101e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56783573536101e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56783573536101e-05×40589641000000     		ar = 81932.2018463025m²