Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90445 / 57667
↖ ↑ ↗
← N 21.117811°
E 68.414612°		 ← 284.91 m → N 21.117811°
E 68.417358°		 →
↑
284.91 m
↓
↑
284.91 m
↓
N 21.115249°
E 68.414612°		 ← 284.92 m →
81 176 m²		 N 21.115249°
E 68.417358°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90445 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57667 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690044403076172 y=0.439968109130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690044403076172 × 217)
    floor (0.690044403076172 × 131072)
    floor (90445.5)     		tx = 90445
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439968109130859 × 217)
    floor (0.439968109130859 × 131072)
    floor (57667.5)     		ty = 57667
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90445 / 57667 ti = "17/90445/57667"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90445/57667.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90445 ÷ 217
    90445 ÷ 131072     		x = 0.690040588378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57667 ÷ 217
    57667 ÷ 131072     		y = 0.439964294433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.690040588378906 × 2 - 1) × π
    0.380081176757812 × 3.1415926535     		Λ = 1.19406023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439964294433594 × 2 - 1) × π
    0.120071411132812 × 3.1415926535     		Φ = 0.377215463110222
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19406023} λ = 1.19406023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.377215463110222))-π/2
    2×atan(1.45821846781169)-π/2
    2×0.969685833771202-π/2
    1.9393716675424-1.57079632675     		φ = 0.36857534
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19406023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.414612°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36857534 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.117811°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90445 KachelY 57667 1.19406023 0.36857534 68.414612 21.117811
    Oben rechts KachelX + 1 90446 KachelY 57667 1.19410817 0.36857534 68.417358 21.117811
    Unten links KachelX 90445 KachelY + 1 57668 1.19406023 0.36853062 68.414612 21.115249
    Unten rechts KachelX + 1 90446 KachelY + 1 57668 1.19410817 0.36853062 68.417358 21.115249
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36857534-0.36853062) × R
    4.47199999999981e-05 × 6371000     		dl = 284.911119999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36857534-0.36853062) × R
    4.47199999999981e-05 × 6371000     		dr = 284.911119999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19406023-1.19410817) × cos(0.36857534) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.932841578321276 × 6371000     		do = 284.913829361357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19406023-1.19410817) × cos(0.36853062) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.932857689414895 × 6371000     		du = 284.918750104048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36857534)-sin(0.36853062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932841578321276-0.932857689414895)×R²
    abs(1.19410817-1.19406023)×1.61110936195419e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61110936195419e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61110936195419e-05×40589641000000     		ar = 81175.8192275466m²