Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90444 / 57789
↖ ↑ ↗
← N 20.804904°
E 68.411865°		 ← 285.45 m → N 20.804904°
E 68.414612°		 →
↑
285.48 m
↓
↑
285.48 m
↓
N 20.802337°
E 68.411865°		 ← 285.46 m →
81 493 m²		 N 20.802337°
E 68.414612°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90444 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57789 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690036773681641 y=0.440898895263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690036773681641 × 217)
    floor (0.690036773681641 × 131072)
    floor (90444.5)     		tx = 90444
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440898895263672 × 217)
    floor (0.440898895263672 × 131072)
    floor (57789.5)     		ty = 57789
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90444 / 57789 ti = "17/90444/57789"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90444/57789.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90444 ÷ 217
    90444 ÷ 131072     		x = 0.690032958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57789 ÷ 217
    57789 ÷ 131072     		y = 0.440895080566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.690032958984375 × 2 - 1) × π
    0.38006591796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.19401230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440895080566406 × 2 - 1) × π
    0.118209838867188 × 3.1415926535     		Φ = 0.371367161356575
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19401230} λ = 1.19401230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.371367161356575))-π/2
    2×atan(1.4497152551021)-π/2
    2×0.966955202004731-π/2
    1.93391040400946-1.57079632675     		φ = 0.36311408
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19401230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.411865°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36311408 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.804904°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90444 KachelY 57789 1.19401230 0.36311408 68.411865 20.804904
    Oben rechts KachelX + 1 90445 KachelY 57789 1.19406023 0.36311408 68.414612 20.804904
    Unten links KachelX 90444 KachelY + 1 57790 1.19401230 0.36306927 68.411865 20.802337
    Unten rechts KachelX + 1 90445 KachelY + 1 57790 1.19406023 0.36306927 68.414612 20.802337
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36311408-0.36306927) × R
    4.48100000000062e-05 × 6371000     		dl = 285.48451000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36311408-0.36306927) × R
    4.48100000000062e-05 × 6371000     		dr = 285.48451000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19401230-1.19406023) × cos(0.36311408) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.934795277383254 × 6371000     		do = 285.450983536338m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19401230-1.19406023) × cos(0.36306927) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.934811192373231 × 6371000     		du = 285.455843369985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36311408)-sin(0.36306927))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934795277383254-0.934811192373231)×R²
    abs(1.19406023-1.19401230)×1.5914989976884e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.5914989976884e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.5914989976884e-05×40589641000000     		ar = 81492.5278811073m²