Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90440 / 57688
↖ ↑ ↗
← N 21.063997°
E 68.400879°		 ← 285.02 m → N 21.063997°
E 68.403626°		 →
↑
284.97 m
↓
↑
284.97 m
↓
N 21.061434°
E 68.400879°		 ← 285.02 m →
81 223 m²		 N 21.061434°
E 68.403626°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690006256103516 y=0.440128326416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690006256103516 × 217)
    floor (0.690006256103516 × 131072)
    floor (90440.5)     		tx = 90440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440128326416016 × 217)
    floor (0.440128326416016 × 131072)
    floor (57688.5)     		ty = 57688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90440 / 57688 ti = "17/90440/57688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90440/57688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90440 ÷ 217
    90440 ÷ 131072     		x = 0.69000244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57688 ÷ 217
    57688 ÷ 131072     		y = 0.44012451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.69000244140625 × 2 - 1) × π
    0.3800048828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.19382055
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44012451171875 × 2 - 1) × π
    0.1197509765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.376208788218201
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19382055} λ = 1.19382055}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.376208788218201))-π/2
    2×atan(1.45675125452036)-π/2
    2×0.96921621458446-π/2
    1.93843242916892-1.57079632675     		φ = 0.36763610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19382055} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.400879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36763610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.063997°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90440 KachelY 57688 1.19382055 0.36763610 68.400879 21.063997
    Oben rechts KachelX + 1 90441 KachelY 57688 1.19386849 0.36763610 68.403626 21.063997
    Unten links KachelX 90440 KachelY + 1 57689 1.19382055 0.36759137 68.400879 21.061434
    Unten rechts KachelX + 1 90441 KachelY + 1 57689 1.19386849 0.36759137 68.403626 21.061434
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36763610-0.36759137) × R
    4.47300000000483e-05 × 6371000     		dl = 284.974830000308m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36763610-0.36759137) × R
    4.47300000000483e-05 × 6371000     		dr = 284.974830000308m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19382055-1.19386849) × cos(0.36763610) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.933179562597318 × 6371000     		do = 285.017058458975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19382055-1.19386849) × cos(0.36759137) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.933195638095216 × 6371000     		du = 285.021968329817m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36763610)-sin(0.36759137))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933179562597318-0.933195638095216)×R²
    abs(1.19386849-1.19382055)×1.60754978979494e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.60754978979494e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.60754978979494e-05×40589641000000     		ar = 81223.3873898611m²