Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90439 / 57768
↖ ↑ ↗
← N 20.858812°
E 68.398132°		 ← 285.41 m → N 20.858812°
E 68.400879°		 →
↑
285.36 m
↓
↑
285.36 m
↓
N 20.856245°
E 68.398132°		 ← 285.41 m →
81 444 m²		 N 20.856245°
E 68.400879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90439 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689998626708984 y=0.440738677978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689998626708984 × 217)
    floor (0.689998626708984 × 131072)
    floor (90439.5)     		tx = 90439
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440738677978516 × 217)
    floor (0.440738677978516 × 131072)
    floor (57768.5)     		ty = 57768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90439 / 57768 ti = "17/90439/57768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90439/57768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90439 ÷ 217
    90439 ÷ 131072     		x = 0.689994812011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57768 ÷ 217
    57768 ÷ 131072     		y = 0.44073486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689994812011719 × 2 - 1) × π
    0.379989624023438 × 3.1415926535     		Λ = 1.19377261
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44073486328125 × 2 - 1) × π
    0.1185302734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.372373836248596
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19377261} λ = 1.19377261}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.372373836248596))-π/2
    2×atan(1.45117538186316)-π/2
    2×0.967425635294703-π/2
    1.93485127058941-1.57079632675     		φ = 0.36405494
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19377261} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.398132°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36405494 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.858812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90439 KachelY 57768 1.19377261 0.36405494 68.398132 20.858812
    Oben rechts KachelX + 1 90440 KachelY 57768 1.19382055 0.36405494 68.400879 20.858812
    Unten links KachelX 90439 KachelY + 1 57769 1.19377261 0.36401015 68.398132 20.856245
    Unten rechts KachelX + 1 90440 KachelY + 1 57769 1.19382055 0.36401015 68.400879 20.856245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36405494-0.36401015) × R
    4.47900000000168e-05 × 6371000     		dl = 285.357090000107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36405494-0.36401015) × R
    4.47900000000168e-05 × 6371000     		dr = 285.357090000107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19377261-1.19382055) × cos(0.36405494) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.934460682463825 × 6371000     		do = 285.408345443554m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19377261-1.19382055) × cos(0.36401015) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.934476629737508 × 6371000     		du = 285.413216151419m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36405494)-sin(0.36401015))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934460682463825-0.934476629737508)×R²
    abs(1.19382055-1.19377261)×1.59472736827038e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.59472736827038e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.59472736827038e-05×40589641000000     		ar = 81443.989876608m²