Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90437 / 57790
↖ ↑ ↗
← N 20.802337°
E 68.392639°		 ← 285.46 m → N 20.802337°
E 68.395385°		 →
↑
285.55 m
↓
↑
285.55 m
↓
N 20.799769°
E 68.392639°		 ← 285.46 m →
81 512 m²		 N 20.799769°
E 68.395385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90437 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689983367919922 y=0.440906524658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689983367919922 × 217)
    floor (0.689983367919922 × 131072)
    floor (90437.5)     		tx = 90437
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440906524658203 × 217)
    floor (0.440906524658203 × 131072)
    floor (57790.5)     		ty = 57790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90437 / 57790 ti = "17/90437/57790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90437/57790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90437 ÷ 217
    90437 ÷ 131072     		x = 0.689979553222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57790 ÷ 217
    57790 ÷ 131072     		y = 0.440902709960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689979553222656 × 2 - 1) × π
    0.379959106445312 × 3.1415926535     		Λ = 1.19367674
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440902709960938 × 2 - 1) × π
    0.118194580078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.371319224456955
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19367674} λ = 1.19367674}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.371319224456955))-π/2
    2×atan(1.44964576191309)-π/2
    2×0.96693279622028-π/2
    1.93386559244056-1.57079632675     		φ = 0.36306927
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19367674} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.392639°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36306927 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.802337°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90437 KachelY 57790 1.19367674 0.36306927 68.392639 20.802337
    Oben rechts KachelX + 1 90438 KachelY 57790 1.19372467 0.36306927 68.395385 20.802337
    Unten links KachelX 90437 KachelY + 1 57791 1.19367674 0.36302445 68.392639 20.799769
    Unten rechts KachelX + 1 90438 KachelY + 1 57791 1.19372467 0.36302445 68.395385 20.799769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36306927-0.36302445) × R
    4.4820000000001e-05 × 6371000     		dl = 285.548220000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36306927-0.36302445) × R
    4.4820000000001e-05 × 6371000     		dr = 285.548220000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19367674-1.19372467) × cos(0.36306927) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.934811192373231 × 6371000     		do = 285.455843369985m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19367674-1.19372467) × cos(0.36302445) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.934827109037199 × 6371000     		du = 285.460703714805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36306927)-sin(0.36302445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934811192373231-0.934827109037199)×R²
    abs(1.19372467-1.19367674)×1.59166639677188e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.59166639677188e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.59166639677188e-05×40589641000000     		ar = 81512.1019080466m²