Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90431 / 57792
↖ ↑ ↗
← N 20.797201°
E 68.376160°		 ← 285.47 m → N 20.797201°
E 68.378906°		 →
↑
285.48 m
↓
↑
285.48 m
↓
N 20.794634°
E 68.376160°		 ← 285.47 m →
81 497 m²		 N 20.794634°
E 68.378906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689937591552734 y=0.440921783447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689937591552734 × 217)
    floor (0.689937591552734 × 131072)
    floor (90431.5)     		tx = 90431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440921783447266 × 217)
    floor (0.440921783447266 × 131072)
    floor (57792.5)     		ty = 57792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90431 / 57792 ti = "17/90431/57792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90431/57792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90431 ÷ 217
    90431 ÷ 131072     		x = 0.689933776855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57792 ÷ 217
    57792 ÷ 131072     		y = 0.44091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689933776855469 × 2 - 1) × π
    0.379867553710938 × 3.1415926535     		Λ = 1.19338912
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44091796875 × 2 - 1) × π
    0.1181640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.371223350657715
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19338912} λ = 1.19338912}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.371223350657715))-π/2
    2×atan(1.44950678552855)-π/2
    2×0.966887983507061-π/2
    1.93377596701412-1.57079632675     		φ = 0.36297964
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19338912} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.376160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36297964 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.797201°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90431 KachelY 57792 1.19338912 0.36297964 68.376160 20.797201
    Oben rechts KachelX + 1 90432 KachelY 57792 1.19343705 0.36297964 68.378906 20.797201
    Unten links KachelX 90431 KachelY + 1 57793 1.19338912 0.36293483 68.376160 20.794634
    Unten rechts KachelX + 1 90432 KachelY + 1 57793 1.19343705 0.36293483 68.378906 20.794634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36297964-0.36293483) × R
    4.48100000000062e-05 × 6371000     		dl = 285.48451000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36297964-0.36293483) × R
    4.48100000000062e-05 × 6371000     		dr = 285.48451000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19338912-1.19343705) × cos(0.36297964) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.934843020272642 × 6371000     		do = 285.46556240196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19338912-1.19343705) × cos(0.36293483) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.934858929630981 × 6371000     		du = 285.470420515918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36297964)-sin(0.36293483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934843020272642-0.934858929630981)×R²
    abs(1.19343705-1.19338912)×1.59093583387282e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.59093583387282e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.59093583387282e-05×40589641000000     		ar = 81496.6896759109m²