Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90430 / 57786
↖ ↑ ↗
← N 20.812607°
E 68.373413°		 ← 285.50 m → N 20.812607°
E 68.376160°		 →
↑
285.48 m
↓
↑
285.48 m
↓
N 20.810039°
E 68.373413°		 ← 285.50 m →
81 505 m²		 N 20.810039°
E 68.376160°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90430 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57786 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689929962158203 y=0.440876007080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689929962158203 × 217)
    floor (0.689929962158203 × 131072)
    floor (90430.5)     		tx = 90430
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440876007080078 × 217)
    floor (0.440876007080078 × 131072)
    floor (57786.5)     		ty = 57786
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90430 / 57786 ti = "17/90430/57786"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90430/57786.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90430 ÷ 217
    90430 ÷ 131072     		x = 0.689926147460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57786 ÷ 217
    57786 ÷ 131072     		y = 0.440872192382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689926147460938 × 2 - 1) × π
    0.379852294921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.19334118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440872192382812 × 2 - 1) × π
    0.118255615234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.371510972055435
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19334118} λ = 1.19334118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.371510972055435))-π/2
    2×atan(1.44992375465796)-π/2
    2×0.967022417068988-π/2
    1.93404483413798-1.57079632675     		φ = 0.36324851
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19334118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.373413°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36324851 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.812607°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90430 KachelY 57786 1.19334118 0.36324851 68.373413 20.812607
    Oben rechts KachelX + 1 90431 KachelY 57786 1.19338912 0.36324851 68.376160 20.812607
    Unten links KachelX 90430 KachelY + 1 57787 1.19334118 0.36320370 68.373413 20.810039
    Unten rechts KachelX + 1 90431 KachelY + 1 57787 1.19338912 0.36320370 68.376160 20.810039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36324851-0.36320370) × R
    4.48100000000062e-05 × 6371000     		dl = 285.48451000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36324851-0.36320370) × R
    4.48100000000062e-05 × 6371000     		dr = 285.48451000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19334118-1.19338912) × cos(0.36324851) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.934747521151396 × 6371000     		do = 285.495953360644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19334118-1.19338912) × cos(0.36320370) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.934763441772305 × 6371000     		du = 285.500815928066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36324851)-sin(0.36320370))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934747521151396-0.934763441772305)×R²
    abs(1.19338912-1.19334118)×1.59206209084939e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59206209084939e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59206209084939e-05×40589641000000     		ar = 81505.3664596962m²