Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90424 / 57752
↖ ↑ ↗
← N 20.899871°
E 68.356934°		 ← 285.27 m → N 20.899871°
E 68.359680°		 →
↑
285.36 m
↓
↑
285.36 m
↓
N 20.897305°
E 68.356934°		 ← 285.28 m →
81 405 m²		 N 20.897305°
E 68.359680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57752 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689884185791016 y=0.440616607666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689884185791016 × 217)
    floor (0.689884185791016 × 131072)
    floor (90424.5)     		tx = 90424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440616607666016 × 217)
    floor (0.440616607666016 × 131072)
    floor (57752.5)     		ty = 57752
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90424 / 57752 ti = "17/90424/57752"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90424/57752.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90424 ÷ 217
    90424 ÷ 131072     		x = 0.68988037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57752 ÷ 217
    57752 ÷ 131072     		y = 0.44061279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68988037109375 × 2 - 1) × π
    0.3797607421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.19305356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44061279296875 × 2 - 1) × π
    0.1187744140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.373140826642517
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19305356} λ = 1.19305356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.373140826642517))-π/2
    2×atan(1.45228884639465)-π/2
    2×0.96778394751732-π/2
    1.93556789503464-1.57079632675     		φ = 0.36477157
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19305356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.356934°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36477157 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.899871°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90424 KachelY 57752 1.19305356 0.36477157 68.356934 20.899871
    Oben rechts KachelX + 1 90425 KachelY 57752 1.19310149 0.36477157 68.359680 20.899871
    Unten links KachelX 90424 KachelY + 1 57753 1.19305356 0.36472678 68.356934 20.897305
    Unten rechts KachelX + 1 90425 KachelY + 1 57753 1.19310149 0.36472678 68.359680 20.897305
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36477157-0.36472678) × R
    4.47900000000168e-05 × 6371000     		dl = 285.357090000107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36477157-0.36472678) × R
    4.47900000000168e-05 × 6371000     		dr = 285.357090000107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19305356-1.19310149) × cos(0.36477157) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.934205274719889 × 6371000     		do = 285.270819125348m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19305356-1.19310149) × cos(0.36472678) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.934221251983916 × 6371000     		du = 285.275697975125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36477157)-sin(0.36472678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934205274719889-0.934221251983916)×R²
    abs(1.19310149-1.19305356)×1.59772640271338e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.59772640271338e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.59772640271338e-05×40589641000000     		ar = 81404.7469283252m²