Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90423 / 57766
↖ ↑ ↗
← N 20.863945°
E 68.354187°		 ← 285.40 m → N 20.863945°
E 68.356934°		 →
↑
285.36 m
↓
↑
285.36 m
↓
N 20.861378°
E 68.354187°		 ← 285.40 m →
81 441 m²		 N 20.861378°
E 68.356934°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90423 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57766 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689876556396484 y=0.440723419189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689876556396484 × 217)
    floor (0.689876556396484 × 131072)
    floor (90423.5)     		tx = 90423
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440723419189453 × 217)
    floor (0.440723419189453 × 131072)
    floor (57766.5)     		ty = 57766
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90423 / 57766 ti = "17/90423/57766"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90423/57766.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90423 ÷ 217
    90423 ÷ 131072     		x = 0.689872741699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57766 ÷ 217
    57766 ÷ 131072     		y = 0.440719604492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689872741699219 × 2 - 1) × π
    0.379745483398438 × 3.1415926535     		Λ = 1.19300562
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440719604492188 × 2 - 1) × π
    0.118560791015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.372469710047836
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19300562} λ = 1.19300562}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.372469710047836))-π/2
    2×atan(1.45131451823004)-π/2
    2×0.967470429677926-π/2
    1.93494085935585-1.57079632675     		φ = 0.36414453
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19300562} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.354187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36414453 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.863945°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90423 KachelY 57766 1.19300562 0.36414453 68.354187 20.863945
    Oben rechts KachelX + 1 90424 KachelY 57766 1.19305356 0.36414453 68.356934 20.863945
    Unten links KachelX 90423 KachelY + 1 57767 1.19300562 0.36409974 68.354187 20.861378
    Unten rechts KachelX + 1 90424 KachelY + 1 57767 1.19305356 0.36409974 68.356934 20.861378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36414453-0.36409974) × R
    4.47900000000168e-05 × 6371000     		dl = 285.357090000107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36414453-0.36409974) × R
    4.47900000000168e-05 × 6371000     		dr = 285.357090000107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19300562-1.19305356) × cos(0.36414453) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.934428778731003 × 6371000     		do = 285.398601221026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19300562-1.19305356) × cos(0.36409974) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.934444729754398 × 6371000     		du = 285.40347307415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36414453)-sin(0.36409974))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934428778731003-0.934444729754398)×R²
    abs(1.19305356-1.19300562)×1.59510233949112e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59510233949112e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59510233949112e-05×40589641000000     		ar = 81441.2094571061m²