Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90422 / 57782
↖ ↑ ↗
← N 20.822876°
E 68.351440°		 ← 285.48 m → N 20.822876°
E 68.354187°		 →
↑
285.48 m
↓
↑
285.48 m
↓
N 20.820308°
E 68.351440°		 ← 285.48 m →
81 500 m²		 N 20.820308°
E 68.354187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57782 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689868927001953 y=0.440845489501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689868927001953 × 217)
    floor (0.689868927001953 × 131072)
    floor (90422.5)     		tx = 90422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440845489501953 × 217)
    floor (0.440845489501953 × 131072)
    floor (57782.5)     		ty = 57782
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90422 / 57782 ti = "17/90422/57782"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90422/57782.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90422 ÷ 217
    90422 ÷ 131072     		x = 0.689865112304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57782 ÷ 217
    57782 ÷ 131072     		y = 0.440841674804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689865112304688 × 2 - 1) × π
    0.379730224609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.19295768
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440841674804688 × 2 - 1) × π
    0.118316650390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.371702719653915
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19295768} λ = 1.19295768}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.371702719653915))-π/2
    2×atan(1.45020180071237)-π/2
    2×0.967112031812006-π/2
    1.93422406362401-1.57079632675     		φ = 0.36342774
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19295768} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.351440°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36342774 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.822876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90422 KachelY 57782 1.19295768 0.36342774 68.351440 20.822876
    Oben rechts KachelX + 1 90423 KachelY 57782 1.19300562 0.36342774 68.354187 20.822876
    Unten links KachelX 90422 KachelY + 1 57783 1.19295768 0.36338293 68.351440 20.820308
    Unten rechts KachelX + 1 90423 KachelY + 1 57783 1.19300562 0.36338293 68.354187 20.820308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36342774-0.36338293) × R
    4.48100000000062e-05 × 6371000     		dl = 285.48451000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36342774-0.36338293) × R
    4.48100000000062e-05 × 6371000     		dr = 285.48451000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19295768-1.19300562) × cos(0.36342774) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.934683823453751 × 6371000     		do = 285.476498445526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19295768-1.19300562) × cos(0.36338293) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.934699751581702 × 6371000     		du = 285.481363305793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36342774)-sin(0.36338293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934683823453751-0.934699751581702)×R²
    abs(1.19300562-1.19295768)×1.5928127951037e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.5928127951037e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.5928127951037e-05×40589641000000     		ar = 81499.8127099221m²