Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 90420 / 57244
↖ ↑ ↗
← N 22.197577°
E 68.345947°		 ← 282.79 m → N 22.197577°
E 68.348694°		 →
↑
282.74 m
↓
↑
282.74 m
↓
N 22.195035°
E 68.345947°		 ← 282.79 m →
79 958 m²		 N 22.195035°
E 68.348694°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57244 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689853668212891 y=0.436740875244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689853668212891 × 217)
    floor (0.689853668212891 × 131072)
    floor (90420.5)     		tx = 90420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436740875244141 × 217)
    floor (0.436740875244141 × 131072)
    floor (57244.5)     		ty = 57244
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90420 / 57244 ti = "17/90420/57244"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90420/57244.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90420 ÷ 217
    90420 ÷ 131072     		x = 0.689849853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57244 ÷ 217
    57244 ÷ 131072     		y = 0.436737060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689849853515625 × 2 - 1) × π
    0.37969970703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.19286181
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436737060546875 × 2 - 1) × π
    0.12652587890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.397492771649506
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19286181} λ = 1.19286181}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.397492771649506))-π/2
    2×atan(1.48808903749881)-π/2
    2×0.979108569655906-π/2
    1.95821713931181-1.57079632675     		φ = 0.38742081
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19286181} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.345947°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38742081 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.197577°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90420 KachelY 57244 1.19286181 0.38742081 68.345947 22.197577
    Oben rechts KachelX + 1 90421 KachelY 57244 1.19290975 0.38742081 68.348694 22.197577
    Unten links KachelX 90420 KachelY + 1 57245 1.19286181 0.38737643 68.345947 22.195035
    Unten rechts KachelX + 1 90421 KachelY + 1 57245 1.19290975 0.38737643 68.348694 22.195035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38742081-0.38737643) × R
    4.43800000000105e-05 × 6371000     		dl = 282.744980000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38742081-0.38737643) × R
    4.43800000000105e-05 × 6371000     		dr = 282.744980000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19286181-1.19290975) × cos(0.38742081) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.925886560580488 × 6371000     		do = 282.789587922475m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19286181-1.19290975) × cos(0.38737643) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.925903326505328 × 6371000     		du = 282.794708667476m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38742081)-sin(0.38737643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.925886560580488-0.925903326505328)×R²
    abs(1.19290975-1.19286181)×1.6765924839679e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.6765924839679e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.6765924839679e-05×40589641000000     		ar = 79958.0603270005m²