Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90419 / 57741
↖ ↑ ↗
← N 20.928093°
E 68.343200°		 ← 285.28 m → N 20.928093°
E 68.345947°		 →
↑
285.23 m
↓
↑
285.23 m
↓
N 20.925528°
E 68.343200°		 ← 285.28 m →
81 370 m²		 N 20.925528°
E 68.345947°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90419 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57741 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689846038818359 y=0.440532684326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689846038818359 × 217)
    floor (0.689846038818359 × 131072)
    floor (90419.5)     		tx = 90419
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440532684326172 × 217)
    floor (0.440532684326172 × 131072)
    floor (57741.5)     		ty = 57741
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90419 / 57741 ti = "17/90419/57741"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90419/57741.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90419 ÷ 217
    90419 ÷ 131072     		x = 0.689842224121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57741 ÷ 217
    57741 ÷ 131072     		y = 0.440528869628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689842224121094 × 2 - 1) × π
    0.379684448242188 × 3.1415926535     		Λ = 1.19281387
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440528869628906 × 2 - 1) × π
    0.118942260742188 × 3.1415926535     		Φ = 0.373668132538338
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19281387} λ = 1.19281387}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.373668132538338))-π/2
    2×atan(1.45305484880684)-π/2
    2×0.968030230317433-π/2
    1.93606046063487-1.57079632675     		φ = 0.36526413
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19281387} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.343200°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36526413 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.928093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90419 KachelY 57741 1.19281387 0.36526413 68.343200 20.928093
    Oben rechts KachelX + 1 90420 KachelY 57741 1.19286181 0.36526413 68.345947 20.928093
    Unten links KachelX 90419 KachelY + 1 57742 1.19281387 0.36521936 68.343200 20.925528
    Unten rechts KachelX + 1 90420 KachelY + 1 57742 1.19286181 0.36521936 68.345947 20.925528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36526413-0.36521936) × R
    4.47700000000273e-05 × 6371000     		dl = 285.229670000174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36526413-0.36521936) × R
    4.47700000000273e-05 × 6371000     		dr = 285.229670000174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19281387-1.19286181) × cos(0.36526413) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.934029447564207 × 6371000     		do = 285.276635203902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19281387-1.19286181) × cos(0.36521936) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.934045438293603 × 6371000     		du = 285.281519184261m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36526413)-sin(0.36521936))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934029447564207-0.934045438293603)×R²
    abs(1.19286181-1.19281387)×1.59907293955097e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59907293955097e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59907293955097e-05×40589641000000     		ar = 81370.0570595916m²