Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90418 / 57747
↖ ↑ ↗
← N 20.912700°
E 68.340454°		 ← 285.25 m → N 20.912700°
E 68.343200°		 →
↑
285.29 m
↓
↑
285.29 m
↓
N 20.910134°
E 68.340454°		 ← 285.25 m →
81 380 m²		 N 20.910134°
E 68.343200°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57747 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689838409423828 y=0.440578460693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689838409423828 × 217)
    floor (0.689838409423828 × 131072)
    floor (90418.5)     		tx = 90418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440578460693359 × 217)
    floor (0.440578460693359 × 131072)
    floor (57747.5)     		ty = 57747
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90418 / 57747 ti = "17/90418/57747"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90418/57747.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90418 ÷ 217
    90418 ÷ 131072     		x = 0.689834594726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57747 ÷ 217
    57747 ÷ 131072     		y = 0.440574645996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689834594726562 × 2 - 1) × π
    0.379669189453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.19276594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440574645996094 × 2 - 1) × π
    0.118850708007812 × 3.1415926535     		Φ = 0.373380511140617
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19276594} λ = 1.19276594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.373380511140617))-π/2
    2×atan(1.45263697923725)-π/2
    2×0.967895899991392-π/2
    1.93579179998278-1.57079632675     		φ = 0.36499547
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19276594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.340454°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36499547 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.912700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90418 KachelY 57747 1.19276594 0.36499547 68.340454 20.912700
    Oben rechts KachelX + 1 90419 KachelY 57747 1.19281387 0.36499547 68.343200 20.912700
    Unten links KachelX 90418 KachelY + 1 57748 1.19276594 0.36495069 68.340454 20.910134
    Unten rechts KachelX + 1 90419 KachelY + 1 57748 1.19281387 0.36495069 68.343200 20.910134
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36499547-0.36495069) × R
    4.47799999999665e-05 × 6371000     		dl = 285.293379999787m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36499547-0.36495069) × R
    4.47799999999665e-05 × 6371000     		dr = 285.293379999787m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19276594-1.19281387) × cos(0.36499547) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.934125378135393 × 6371000     		do = 285.246421742116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19276594-1.19281387) × cos(0.36495069) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.934141361198727 × 6371000     		du = 285.251302362781m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36499547)-sin(0.36495069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934125378135393-0.934141361198727)×R²
    abs(1.19281387-1.19276594)×1.59830633342795e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.59830633342795e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.59830633342795e-05×40589641000000     		ar = 81379.6120096648m²