Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90416 / 57744
↖ ↑ ↗
← N 20.920397°
E 68.334961°		 ← 285.29 m → N 20.920397°
E 68.337708°		 →
↑
285.29 m
↓
↑
285.29 m
↓
N 20.917831°
E 68.334961°		 ← 285.30 m →
81 392 m²		 N 20.917831°
E 68.337708°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689823150634766 y=0.440555572509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689823150634766 × 217)
    floor (0.689823150634766 × 131072)
    floor (90416.5)     		tx = 90416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440555572509766 × 217)
    floor (0.440555572509766 × 131072)
    floor (57744.5)     		ty = 57744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90416 / 57744 ti = "17/90416/57744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90416/57744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90416 ÷ 217
    90416 ÷ 131072     		x = 0.6898193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57744 ÷ 217
    57744 ÷ 131072     		y = 0.4405517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6898193359375 × 2 - 1) × π
    0.379638671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.19267006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4405517578125 × 2 - 1) × π
    0.118896484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.373524321839478
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19267006} λ = 1.19267006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.373524321839478))-π/2
    2×atan(1.45284589899852)-π/2
    2×0.967963066878897-π/2
    1.93592613375779-1.57079632675     		φ = 0.36512981
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19267006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.334961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36512981 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.920397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90416 KachelY 57744 1.19267006 0.36512981 68.334961 20.920397
    Oben rechts KachelX + 1 90417 KachelY 57744 1.19271800 0.36512981 68.337708 20.920397
    Unten links KachelX 90416 KachelY + 1 57745 1.19267006 0.36508503 68.334961 20.917831
    Unten rechts KachelX + 1 90417 KachelY + 1 57745 1.19271800 0.36508503 68.337708 20.917831
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36512981-0.36508503) × R
    4.4780000000022e-05 × 6371000     		dl = 285.29338000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36512981-0.36508503) × R
    4.4780000000022e-05 × 6371000     		dr = 285.29338000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19267006-1.19271800) × cos(0.36512981) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.934077417706597 × 6371000     		do = 285.29128652014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19267006-1.19271800) × cos(0.36508503) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.934093406389296 × 6371000     		du = 285.296169875384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36512981)-sin(0.36508503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934077417706597-0.934093406389296)×R²
    abs(1.19271800-1.19267006)×1.59886826983646e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59886826983646e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59886826983646e-05×40589641000000     		ar = 81392.4120239891m²