Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90412 / 57740
↖ ↑ ↗
← N 20.930659°
E 68.323974°		 ← 285.27 m → N 20.930659°
E 68.326721°		 →
↑
285.29 m
↓
↑
285.29 m
↓
N 20.928093°
E 68.323974°		 ← 285.28 m →
81 387 m²		 N 20.928093°
E 68.326721°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689792633056641 y=0.440525054931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689792633056641 × 217)
    floor (0.689792633056641 × 131072)
    floor (90412.5)     		tx = 90412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440525054931641 × 217)
    floor (0.440525054931641 × 131072)
    floor (57740.5)     		ty = 57740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90412 / 57740 ti = "17/90412/57740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90412/57740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90412 ÷ 217
    90412 ÷ 131072     		x = 0.689788818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57740 ÷ 217
    57740 ÷ 131072     		y = 0.440521240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689788818359375 × 2 - 1) × π
    0.37957763671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.19247831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440521240234375 × 2 - 1) × π
    0.11895751953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.373716069437958
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19247831} λ = 1.19247831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.373716069437958))-π/2
    2×atan(1.45312450542081)-π/2
    2×0.968052617363662-π/2
    1.93610523472732-1.57079632675     		φ = 0.36530891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19247831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.323974°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36530891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.930659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90412 KachelY 57740 1.19247831 0.36530891 68.323974 20.930659
    Oben rechts KachelX + 1 90413 KachelY 57740 1.19252625 0.36530891 68.326721 20.930659
    Unten links KachelX 90412 KachelY + 1 57741 1.19247831 0.36526413 68.323974 20.928093
    Unten rechts KachelX + 1 90413 KachelY + 1 57741 1.19252625 0.36526413 68.326721 20.928093
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36530891-0.36526413) × R
    4.47799999999665e-05 × 6371000     		dl = 285.293379999787m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36530891-0.36526413) × R
    4.47799999999665e-05 × 6371000     		dr = 285.293379999787m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19247831-1.19252625) × cos(0.36530891) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.934013451390309 × 6371000     		do = 285.271749560652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19247831-1.19252625) × cos(0.36526413) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.934029447564207 × 6371000     		du = 285.276635203902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36530891)-sin(0.36526413))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934013451390309-0.934029447564207)×R²
    abs(1.19252625-1.19247831)×1.59961738984693e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59961738984693e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59961738984693e-05×40589641000000     		ar = 81386.838585085m²