Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90412 / 57420
↖ ↑ ↗
← N 21.749296°
E 68.323974°		 ← 283.68 m → N 21.749296°
E 68.326721°		 →
↑
283.64 m
↓
↑
283.64 m
↓
N 21.746745°
E 68.323974°		 ← 283.69 m →
80 464 m²		 N 21.746745°
E 68.326721°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689792633056641 y=0.438083648681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689792633056641 × 217)
    floor (0.689792633056641 × 131072)
    floor (90412.5)     		tx = 90412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438083648681641 × 217)
    floor (0.438083648681641 × 131072)
    floor (57420.5)     		ty = 57420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90412 / 57420 ti = "17/90412/57420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90412/57420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90412 ÷ 217
    90412 ÷ 131072     		x = 0.689788818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57420 ÷ 217
    57420 ÷ 131072     		y = 0.438079833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689788818359375 × 2 - 1) × π
    0.37957763671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.19247831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438079833984375 × 2 - 1) × π
    0.12384033203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.389055877316376
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19247831} λ = 1.19247831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.389055877316376))-π/2
    2×atan(1.47558700087119)-π/2
    2×0.975196574562919-π/2
    1.95039314912584-1.57079632675     		φ = 0.37959682
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19247831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.323974°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37959682 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.749296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90412 KachelY 57420 1.19247831 0.37959682 68.323974 21.749296
    Oben rechts KachelX + 1 90413 KachelY 57420 1.19252625 0.37959682 68.326721 21.749296
    Unten links KachelX 90412 KachelY + 1 57421 1.19247831 0.37955230 68.323974 21.746745
    Unten rechts KachelX + 1 90413 KachelY + 1 57421 1.19252625 0.37955230 68.326721 21.746745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37959682-0.37955230) × R
    4.45199999999923e-05 × 6371000     		dl = 283.636919999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37959682-0.37955230) × R
    4.45199999999923e-05 × 6371000     		dr = 283.636919999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19247831-1.19252625) × cos(0.37959682) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.92881410780819 × 6371000     		do = 283.68373619957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19247831-1.19252625) × cos(0.37955230) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.928830603596538 × 6371000     		du = 283.688774437933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37959682)-sin(0.37955230))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92881410780819-0.928830603596538)×R²
    abs(1.19252625-1.19247831)×1.64957883479477e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64957883479477e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64957883479477e-05×40589641000000     		ar = 80463.8957181923m²