Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90411 / 57755
↖ ↑ ↗
← N 20.892174°
E 68.321228°		 ← 285.29 m → N 20.892174°
E 68.323974°		 →
↑
285.36 m
↓
↑
285.36 m
↓
N 20.889607°
E 68.321228°		 ← 285.29 m →
81 409 m²		 N 20.889607°
E 68.323974°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90411 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57755 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689785003662109 y=0.440639495849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689785003662109 × 217)
    floor (0.689785003662109 × 131072)
    floor (90411.5)     		tx = 90411
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440639495849609 × 217)
    floor (0.440639495849609 × 131072)
    floor (57755.5)     		ty = 57755
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90411 / 57755 ti = "17/90411/57755"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90411/57755.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90411 ÷ 217
    90411 ÷ 131072     		x = 0.689781188964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57755 ÷ 217
    57755 ÷ 131072     		y = 0.440635681152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689781188964844 × 2 - 1) × π
    0.379562377929688 × 3.1415926535     		Λ = 1.19243038
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440635681152344 × 2 - 1) × π
    0.118728637695312 × 3.1415926535     		Φ = 0.372997015943657
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19243038} λ = 1.19243038}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.372997015943657))-π/2
    2×atan(1.45208000673776)-π/2
    2×0.967716771437625-π/2
    1.93543354287525-1.57079632675     		φ = 0.36463722
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19243038} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.321228°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36463722 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.892174°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90411 KachelY 57755 1.19243038 0.36463722 68.321228 20.892174
    Oben rechts KachelX + 1 90412 KachelY 57755 1.19247831 0.36463722 68.323974 20.892174
    Unten links KachelX 90411 KachelY + 1 57756 1.19243038 0.36459243 68.321228 20.889607
    Unten rechts KachelX + 1 90412 KachelY + 1 57756 1.19247831 0.36459243 68.323974 20.889607
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36463722-0.36459243) × R
    4.47899999999612e-05 × 6371000     		dl = 285.357089999753m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36463722-0.36459243) × R
    4.47899999999612e-05 × 6371000     		dr = 285.357089999753m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19243038-1.19247831) × cos(0.36463722) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.934253193757183 × 6371000     		do = 285.285451779851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19243038-1.19247831) × cos(0.36459243) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.934269165399404 × 6371000     		du = 285.290328912942m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36463722)-sin(0.36459243))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934253193757183-0.934269165399404)×R²
    abs(1.19247831-1.19243038)×1.5971642220558e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.5971642220558e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.5971642220558e-05×40589641000000     		ar = 81408.922215028m²