Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90409 / 57734
↖ ↑ ↗
← N 20.946050°
E 68.315735°		 ← 285.24 m → N 20.946050°
E 68.318481°		 →
↑
285.23 m
↓
↑
285.23 m
↓
N 20.943485°
E 68.315735°		 ← 285.25 m →
81 360 m²		 N 20.943485°
E 68.318481°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57734 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689769744873047 y=0.440479278564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689769744873047 × 217)
    floor (0.689769744873047 × 131072)
    floor (90409.5)     		tx = 90409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440479278564453 × 217)
    floor (0.440479278564453 × 131072)
    floor (57734.5)     		ty = 57734
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90409 / 57734 ti = "17/90409/57734"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90409/57734.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90409 ÷ 217
    90409 ÷ 131072     		x = 0.689765930175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57734 ÷ 217
    57734 ÷ 131072     		y = 0.440475463867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689765930175781 × 2 - 1) × π
    0.379531860351562 × 3.1415926535     		Λ = 1.19233450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440475463867188 × 2 - 1) × π
    0.119049072265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.374003690835678
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19233450} λ = 1.19233450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.374003690835678))-π/2
    2×atan(1.45354251523353)-π/2
    2×0.968186931588881-π/2
    1.93637386317776-1.57079632675     		φ = 0.36557754
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19233450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.315735°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36557754 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.946050°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90409 KachelY 57734 1.19233450 0.36557754 68.315735 20.946050
    Oben rechts KachelX + 1 90410 KachelY 57734 1.19238244 0.36557754 68.318481 20.946050
    Unten links KachelX 90409 KachelY + 1 57735 1.19233450 0.36553277 68.315735 20.943485
    Unten rechts KachelX + 1 90410 KachelY + 1 57735 1.19238244 0.36553277 68.318481 20.943485
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36557754-0.36553277) × R
    4.47699999999718e-05 × 6371000     		dl = 285.22966999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36557754-0.36553277) × R
    4.47699999999718e-05 × 6371000     		dr = 285.22966999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19233450-1.19238244) × cos(0.36557754) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.93391745289097 × 6371000     		do = 285.242429147953m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19233450-1.19238244) × cos(0.36553277) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.933933456725401 × 6371000     		du = 285.247317130927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36557754)-sin(0.36553277))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93391745289097-0.933933456725401)×R²
    abs(1.19238244-1.19233450)×1.60038344307889e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.60038344307889e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.60038344307889e-05×40589641000000     		ar = 81360.3010482532m²