Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90408 / 57671
↖ ↑ ↗
← N 21.107562°
E 68.312988°		 ← 284.87 m → N 21.107562°
E 68.315735°		 →
↑
284.91 m
↓
↑
284.91 m
↓
N 21.105000°
E 68.312988°		 ← 284.88 m →
81 164 m²		 N 21.105000°
E 68.315735°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90408 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57671 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689762115478516 y=0.439998626708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689762115478516 × 217)
    floor (0.689762115478516 × 131072)
    floor (90408.5)     		tx = 90408
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439998626708984 × 217)
    floor (0.439998626708984 × 131072)
    floor (57671.5)     		ty = 57671
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90408 / 57671 ti = "17/90408/57671"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90408/57671.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90408 ÷ 217
    90408 ÷ 131072     		x = 0.68975830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57671 ÷ 217
    57671 ÷ 131072     		y = 0.439994812011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68975830078125 × 2 - 1) × π
    0.3795166015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.19228657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439994812011719 × 2 - 1) × π
    0.120010375976562 × 3.1415926535     		Φ = 0.377023715511742
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19228657} λ = 1.19228657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.377023715511742))-π/2
    2×atan(1.45793888472798)-π/2
    2×0.969596395616159-π/2
    1.93919279123232-1.57079632675     		φ = 0.36839646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19228657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.312988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36839646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.107562°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90408 KachelY 57671 1.19228657 0.36839646 68.312988 21.107562
    Oben rechts KachelX + 1 90409 KachelY 57671 1.19233450 0.36839646 68.315735 21.107562
    Unten links KachelX 90408 KachelY + 1 57672 1.19228657 0.36835174 68.312988 21.105000
    Unten rechts KachelX + 1 90409 KachelY + 1 57672 1.19233450 0.36835174 68.315735 21.105000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36839646-0.36835174) × R
    4.47199999999981e-05 × 6371000     		dl = 284.911119999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36839646-0.36835174) × R
    4.47199999999981e-05 × 6371000     		dr = 284.911119999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19228657-1.19233450) × cos(0.36839646) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.932906011502013 × 6371000     		do = 284.874073471632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19228657-1.19233450) × cos(0.36835174) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.932922115133032 × 6371000     		du = 284.878990909091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36839646)-sin(0.36835174))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932906011502013-0.932922115133032)×R²
    abs(1.19233450-1.19228657)×1.61036310185603e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.61036310185603e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.61036310185603e-05×40589641000000     		ar = 81164.4918615377m²