Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 90407 / 57676
↖ ↑ ↗
← N 21.094750°
E 68.310242°		 ← 284.96 m → N 21.094750°
E 68.312988°		 →
↑
284.91 m
↓
↑
284.91 m
↓
N 21.092188°
E 68.310242°		 ← 284.96 m →
81 188 m²		 N 21.092188°
E 68.312988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57676 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689754486083984 y=0.440036773681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689754486083984 × 217)
    floor (0.689754486083984 × 131072)
    floor (90407.5)     		tx = 90407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440036773681641 × 217)
    floor (0.440036773681641 × 131072)
    floor (57676.5)     		ty = 57676
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90407 / 57676 ti = "17/90407/57676"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90407/57676.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90407 ÷ 217
    90407 ÷ 131072     		x = 0.689750671386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57676 ÷ 217
    57676 ÷ 131072     		y = 0.440032958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689750671386719 × 2 - 1) × π
    0.379501342773438 × 3.1415926535     		Λ = 1.19223863
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440032958984375 × 2 - 1) × π
    0.11993408203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.376784031013641
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19223863} λ = 1.19223863}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.376784031013641))-π/2
    2×atan(1.4575894812531)-π/2
    2×0.969484589237487-π/2
    1.93896917847497-1.57079632675     		φ = 0.36817285
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19223863} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.310242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36817285 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.094750°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90407 KachelY 57676 1.19223863 0.36817285 68.310242 21.094750
    Oben rechts KachelX + 1 90408 KachelY 57676 1.19228657 0.36817285 68.312988 21.094750
    Unten links KachelX 90407 KachelY + 1 57677 1.19223863 0.36812813 68.310242 21.092188
    Unten rechts KachelX + 1 90408 KachelY + 1 57677 1.19228657 0.36812813 68.312988 21.092188
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36817285-0.36812813) × R
    4.47199999999981e-05 × 6371000     		dl = 284.911119999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36817285-0.36812813) × R
    4.47199999999981e-05 × 6371000     		dr = 284.911119999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19223863-1.19228657) × cos(0.36817285) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.932986514598589 × 6371000     		do = 284.958096631108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19223863-1.19228657) × cos(0.36812813) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.933002608900214 × 6371000     		du = 284.963012245092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36817285)-sin(0.36812813))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932986514598589-0.933002608900214)×R²
    abs(1.19228657-1.19223863)×1.60943016253023e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.60943016253023e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.60943016253023e-05×40589641000000     		ar = 81188.4307342729m²