Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90406 / 57669
↖ ↑ ↗
← N 21.112687°
E 68.307495°		 ← 284.92 m → N 21.112687°
E 68.310242°		 →
↑
284.91 m
↓
↑
284.91 m
↓
N 21.110125°
E 68.307495°		 ← 284.93 m →
81 179 m²		 N 21.110125°
E 68.310242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90406 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689746856689453 y=0.439983367919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689746856689453 × 217)
    floor (0.689746856689453 × 131072)
    floor (90406.5)     		tx = 90406
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439983367919922 × 217)
    floor (0.439983367919922 × 131072)
    floor (57669.5)     		ty = 57669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90406 / 57669 ti = "17/90406/57669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90406/57669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90406 ÷ 217
    90406 ÷ 131072     		x = 0.689743041992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57669 ÷ 217
    57669 ÷ 131072     		y = 0.439979553222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689743041992188 × 2 - 1) × π
    0.379486083984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.19219069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439979553222656 × 2 - 1) × π
    0.120040893554688 × 3.1415926535     		Φ = 0.377119589310982
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19219069} λ = 1.19219069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.377119589310982))-π/2
    2×atan(1.45807866956866)-π/2
    2×0.969641115465846-π/2
    1.93928223093169-1.57079632675     		φ = 0.36848590
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19219069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.307495°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36848590 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.112687°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90406 KachelY 57669 1.19219069 0.36848590 68.307495 21.112687
    Oben rechts KachelX + 1 90407 KachelY 57669 1.19223863 0.36848590 68.310242 21.112687
    Unten links KachelX 90406 KachelY + 1 57670 1.19219069 0.36844118 68.307495 21.110125
    Unten rechts KachelX + 1 90407 KachelY + 1 57670 1.19223863 0.36844118 68.310242 21.110125
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36848590-0.36844118) × R
    4.47199999999981e-05 × 6371000     		dl = 284.911119999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36848590-0.36844118) × R
    4.47199999999981e-05 × 6371000     		dr = 284.911119999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19219069-1.19223863) × cos(0.36848590) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.932873798642913 × 6371000     		do = 284.923670276936m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19219069-1.19223863) × cos(0.36844118) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.932889906005296 × 6371000     		du = 284.928589880011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36848590)-sin(0.36844118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932873798642913-0.932889906005296)×R²
    abs(1.19223863-1.19219069)×1.6107362383333e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6107362383333e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6107362383333e-05×40589641000000     		ar = 81178.6228514962m²