Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 90403 / 57735
↖ ↑ ↗
← N 20.943485°
E 68.299255°		 ← 285.25 m → N 20.943485°
E 68.302002°		 →
↑
285.23 m
↓
↑
285.23 m
↓
N 20.940920°
E 68.299255°		 ← 285.25 m →
81 362 m²		 N 20.940920°
E 68.302002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90403 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689723968505859 y=0.440486907958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689723968505859 × 217)
    floor (0.689723968505859 × 131072)
    floor (90403.5)     		tx = 90403
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440486907958984 × 217)
    floor (0.440486907958984 × 131072)
    floor (57735.5)     		ty = 57735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90403 / 57735 ti = "17/90403/57735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90403/57735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90403 ÷ 217
    90403 ÷ 131072     		x = 0.689720153808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57735 ÷ 217
    57735 ÷ 131072     		y = 0.440483093261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689720153808594 × 2 - 1) × π
    0.379440307617188 × 3.1415926535     		Λ = 1.19204688
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440483093261719 × 2 - 1) × π
    0.119033813476562 × 3.1415926535     		Φ = 0.373955753936058
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19204688} λ = 1.19204688}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.373955753936058))-π/2
    2×atan(1.45347283858194)-π/2
    2×0.968164546843459-π/2
    1.93632909368692-1.57079632675     		φ = 0.36553277
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19204688} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.299255°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36553277 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.943485°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90403 KachelY 57735 1.19204688 0.36553277 68.299255 20.943485
    Oben rechts KachelX + 1 90404 KachelY 57735 1.19209482 0.36553277 68.302002 20.943485
    Unten links KachelX 90403 KachelY + 1 57736 1.19204688 0.36548800 68.299255 20.940920
    Unten rechts KachelX + 1 90404 KachelY + 1 57736 1.19209482 0.36548800 68.302002 20.940920
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36553277-0.36548800) × R
    4.47700000000273e-05 × 6371000     		dl = 285.229670000174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36553277-0.36548800) × R
    4.47700000000273e-05 × 6371000     		dr = 285.229670000174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19204688-1.19209482) × cos(0.36553277) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.933933456725401 × 6371000     		do = 285.247317132248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19204688-1.19209482) × cos(0.36548800) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.9339494586879 × 6371000     		du = 285.252204543485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36553277)-sin(0.36548800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933933456725401-0.9339494586879)×R²
    abs(1.19209482-1.19204688)×1.60019624986241e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.60019624986241e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.60019624986241e-05×40589641000000     		ar = 81361.6951650176m²