Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90399 / 57742
↖ ↑ ↗
← N 20.925528°
E 68.288269°		 ← 285.22 m → N 20.925528°
E 68.291016°		 →
↑
285.29 m
↓
↑
285.29 m
↓
N 20.922962°
E 68.288269°		 ← 285.23 m →
81 373 m²		 N 20.922962°
E 68.291016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57742 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689693450927734 y=0.440540313720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689693450927734 × 217)
    floor (0.689693450927734 × 131072)
    floor (90399.5)     		tx = 90399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440540313720703 × 217)
    floor (0.440540313720703 × 131072)
    floor (57742.5)     		ty = 57742
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90399 / 57742 ti = "17/90399/57742"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90399/57742.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90399 ÷ 217
    90399 ÷ 131072     		x = 0.689689636230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57742 ÷ 217
    57742 ÷ 131072     		y = 0.440536499023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689689636230469 × 2 - 1) × π
    0.379379272460938 × 3.1415926535     		Λ = 1.19185514
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440536499023438 × 2 - 1) × π
    0.118927001953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.373620195638718
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19185514} λ = 1.19185514}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.373620195638718))-π/2
    2×atan(1.4529851955319)-π/2
    2×0.968007842887871-π/2
    1.93601568577574-1.57079632675     		φ = 0.36521936
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19185514} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.288269°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36521936 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.925528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90399 KachelY 57742 1.19185514 0.36521936 68.288269 20.925528
    Oben rechts KachelX + 1 90400 KachelY 57742 1.19190307 0.36521936 68.291016 20.925528
    Unten links KachelX 90399 KachelY + 1 57743 1.19185514 0.36517458 68.288269 20.922962
    Unten rechts KachelX + 1 90400 KachelY + 1 57743 1.19190307 0.36517458 68.291016 20.922962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36521936-0.36517458) × R
    4.47799999999665e-05 × 6371000     		dl = 285.293379999787m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36521936-0.36517458) × R
    4.47799999999665e-05 × 6371000     		dr = 285.293379999787m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19185514-1.19190307) × cos(0.36521936) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.934045438293603 × 6371000     		do = 285.222011149749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19185514-1.19190307) × cos(0.36517458) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.934061430721965 × 6371000     		du = 285.226894630138m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36521936)-sin(0.36517458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934045438293603-0.934061430721965)×R²
    abs(1.19190307-1.19185514)×1.59924283624768e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.59924283624768e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.59924283624768e-05×40589641000000     		ar = 81372.648237212m²