Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90397 / 57772
↖ ↑ ↗
← N 20.848545°
E 68.282776°		 ← 285.43 m → N 20.848545°
E 68.285523°		 →
↑
285.42 m
↓
↑
285.42 m
↓
N 20.845978°
E 68.282776°		 ← 285.43 m →
81 468 m²		 N 20.845978°
E 68.285523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90397 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689678192138672 y=0.440769195556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689678192138672 × 217)
    floor (0.689678192138672 × 131072)
    floor (90397.5)     		tx = 90397
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440769195556641 × 217)
    floor (0.440769195556641 × 131072)
    floor (57772.5)     		ty = 57772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90397 / 57772 ti = "17/90397/57772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90397/57772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90397 ÷ 217
    90397 ÷ 131072     		x = 0.689674377441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57772 ÷ 217
    57772 ÷ 131072     		y = 0.440765380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689674377441406 × 2 - 1) × π
    0.379348754882812 × 3.1415926535     		Λ = 1.19175926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440765380859375 × 2 - 1) × π
    0.11846923828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.372182088650116
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19175926} λ = 1.19175926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.372182088650116))-π/2
    2×atan(1.45089714914479)-π/2
    2×0.967336041940992-π/2
    1.93467208388198-1.57079632675     		φ = 0.36387576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19175926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.282776°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36387576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.848545°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90397 KachelY 57772 1.19175926 0.36387576 68.282776 20.848545
    Oben rechts KachelX + 1 90398 KachelY 57772 1.19180720 0.36387576 68.285523 20.848545
    Unten links KachelX 90397 KachelY + 1 57773 1.19175926 0.36383096 68.282776 20.845978
    Unten rechts KachelX + 1 90398 KachelY + 1 57773 1.19180720 0.36383096 68.285523 20.845978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36387576-0.36383096) × R
    4.48000000000115e-05 × 6371000     		dl = 285.420800000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36387576-0.36383096) × R
    4.48000000000115e-05 × 6371000     		dr = 285.420800000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19175926-1.19180720) × cos(0.36387576) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.934524467428237 × 6371000     		do = 285.427827012188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19175926-1.19180720) × cos(0.36383096) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.934540410760682 × 6371000     		du = 285.432696516298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36387576)-sin(0.36383096))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934524467428237-0.934540410760682)×R²
    abs(1.19180720-1.19175926)×1.59433324448122e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59433324448122e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59433324448122e-05×40589641000000     		ar = 81467.7336706472m²