Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90395 / 57739
↖ ↑ ↗
← N 20.933224°
E 68.277283°		 ← 285.21 m → N 20.933224°
E 68.280029°		 →
↑
285.23 m
↓
↑
285.23 m
↓
N 20.930659°
E 68.277283°		 ← 285.21 m →
81 350 m²		 N 20.930659°
E 68.280029°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90395 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689662933349609 y=0.440517425537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689662933349609 × 217)
    floor (0.689662933349609 × 131072)
    floor (90395.5)     		tx = 90395
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440517425537109 × 217)
    floor (0.440517425537109 × 131072)
    floor (57739.5)     		ty = 57739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90395 / 57739 ti = "17/90395/57739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90395/57739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90395 ÷ 217
    90395 ÷ 131072     		x = 0.689659118652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57739 ÷ 217
    57739 ÷ 131072     		y = 0.440513610839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689659118652344 × 2 - 1) × π
    0.379318237304688 × 3.1415926535     		Λ = 1.19166339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440513610839844 × 2 - 1) × π
    0.118972778320312 × 3.1415926535     		Φ = 0.373764006337578
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19166339} λ = 1.19166339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.373764006337578))-π/2
    2×atan(1.45319416537399)-π/2
    2×0.968075004026519-π/2
    1.93615000805304-1.57079632675     		φ = 0.36535368
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19166339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.277283°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36535368 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.933224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90395 KachelY 57739 1.19166339 0.36535368 68.277283 20.933224
    Oben rechts KachelX + 1 90396 KachelY 57739 1.19171132 0.36535368 68.280029 20.933224
    Unten links KachelX 90395 KachelY + 1 57740 1.19166339 0.36530891 68.277283 20.930659
    Unten rechts KachelX + 1 90396 KachelY + 1 57740 1.19171132 0.36530891 68.280029 20.930659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36535368-0.36530891) × R
    4.47700000000273e-05 × 6371000     		dl = 285.229670000174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36535368-0.36530891) × R
    4.47700000000273e-05 × 6371000     		dr = 285.229670000174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19166339-1.19171132) × cos(0.36535368) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.933997456916278 × 6371000     		do = 285.207359458967m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19166339-1.19171132) × cos(0.36530891) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.934013451390309 × 6371000     		du = 285.212243564026m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36535368)-sin(0.36530891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933997456916278-0.934013451390309)×R²
    abs(1.19171132-1.19166339)×1.59944740307782e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.59944740307782e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.59944740307782e-05×40589641000000     		ar = 81350.2975795447m²