Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90394 / 57722
↖ ↑ ↗
← N 20.976828°
E 68.274536°		 ← 285.18 m → N 20.976828°
E 68.277283°		 →
↑
285.17 m
↓
↑
285.17 m
↓
N 20.974263°
E 68.274536°		 ← 285.19 m →
81 325 m²		 N 20.974263°
E 68.277283°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90394 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57722 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689655303955078 y=0.440387725830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689655303955078 × 217)
    floor (0.689655303955078 × 131072)
    floor (90394.5)     		tx = 90394
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440387725830078 × 217)
    floor (0.440387725830078 × 131072)
    floor (57722.5)     		ty = 57722
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90394 / 57722 ti = "17/90394/57722"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90394/57722.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90394 ÷ 217
    90394 ÷ 131072     		x = 0.689651489257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57722 ÷ 217
    57722 ÷ 131072     		y = 0.440383911132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689651489257812 × 2 - 1) × π
    0.379302978515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.19161545
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440383911132812 × 2 - 1) × π
    0.119232177734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.374578933631119
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19161545} λ = 1.19161545}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.374578933631119))-π/2
    2×atan(1.45437889563112)-π/2
    2×0.968455518602049-π/2
    1.9369110372041-1.57079632675     		φ = 0.36611471
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19161545} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.274536°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36611471 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.976828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90394 KachelY 57722 1.19161545 0.36611471 68.274536 20.976828
    Oben rechts KachelX + 1 90395 KachelY 57722 1.19166339 0.36611471 68.277283 20.976828
    Unten links KachelX 90394 KachelY + 1 57723 1.19161545 0.36606995 68.274536 20.974263
    Unten rechts KachelX + 1 90395 KachelY + 1 57723 1.19166339 0.36606995 68.277283 20.974263
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36611471-0.36606995) × R
    4.47600000000326e-05 × 6371000     		dl = 285.165960000207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36611471-0.36606995) × R
    4.47600000000326e-05 × 6371000     		dr = 285.165960000207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19161545-1.19166339) × cos(0.36611471) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.933725285938093 × 6371000     		do = 285.183736414167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19161545-1.19166339) × cos(0.36606995) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.933741308650795 × 6371000     		du = 285.188630163051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36611471)-sin(0.36606995))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933725285938093-0.933741308650795)×R²
    abs(1.19166339-1.19161545)×1.60227127028456e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.60227127028456e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.60227127028456e-05×40589641000000     		ar = 81325.3917498428m²