Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90393 / 57691
↖ ↑ ↗
← N 21.056308°
E 68.271789°		 ← 285.03 m → N 21.056308°
E 68.274536°		 →
↑
285.04 m
↓
↑
285.04 m
↓
N 21.053744°
E 68.271789°		 ← 285.04 m →
81 246 m²		 N 21.053744°
E 68.274536°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90393 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57691 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689647674560547 y=0.440151214599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689647674560547 × 217)
    floor (0.689647674560547 × 131072)
    floor (90393.5)     		tx = 90393
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440151214599609 × 217)
    floor (0.440151214599609 × 131072)
    floor (57691.5)     		ty = 57691
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90393 / 57691 ti = "17/90393/57691"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90393/57691.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90393 ÷ 217
    90393 ÷ 131072     		x = 0.689643859863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57691 ÷ 217
    57691 ÷ 131072     		y = 0.440147399902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689643859863281 × 2 - 1) × π
    0.379287719726562 × 3.1415926535     		Λ = 1.19156751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440147399902344 × 2 - 1) × π
    0.119705200195312 × 3.1415926535     		Φ = 0.376064977519341
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19156751} λ = 1.19156751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.376064977519341))-π/2
    2×atan(1.45654177316757)-π/2
    2×0.969149112248047-π/2
    1.93829822449609-1.57079632675     		φ = 0.36750190
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19156751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.271789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36750190 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.056308°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90393 KachelY 57691 1.19156751 0.36750190 68.271789 21.056308
    Oben rechts KachelX + 1 90394 KachelY 57691 1.19161545 0.36750190 68.274536 21.056308
    Unten links KachelX 90393 KachelY + 1 57692 1.19156751 0.36745716 68.271789 21.053744
    Unten rechts KachelX + 1 90394 KachelY + 1 57692 1.19161545 0.36745716 68.274536 21.053744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36750190-0.36745716) × R
    4.47399999999876e-05 × 6371000     		dl = 285.038539999921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36750190-0.36745716) × R
    4.47399999999876e-05 × 6371000     		dr = 285.038539999921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19156751-1.19161545) × cos(0.36750190) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.933227787082495 × 6371000     		do = 285.031787458047m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19156751-1.19161545) × cos(0.36745716) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.933243860570976 × 6371000     		du = 285.03669671516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36750190)-sin(0.36745716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933227787082495-0.933243860570976)×R²
    abs(1.19161545-1.19156751)×1.60734884815383e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.60734884815383e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.60734884815383e-05×40589641000000     		ar = 81245.7442279274m²