Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90392 / 57719
↖ ↑ ↗
← N 20.984521°
E 68.269043°		 ← 285.11 m → N 20.984521°
E 68.271789°		 →
↑
285.17 m
↓
↑
285.17 m
↓
N 20.981957°
E 68.269043°		 ← 285.11 m →
81 304 m²		 N 20.981957°
E 68.271789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90392 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689640045166016 y=0.440364837646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689640045166016 × 217)
    floor (0.689640045166016 × 131072)
    floor (90392.5)     		tx = 90392
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440364837646484 × 217)
    floor (0.440364837646484 × 131072)
    floor (57719.5)     		ty = 57719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90392 / 57719 ti = "17/90392/57719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90392/57719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90392 ÷ 217
    90392 ÷ 131072     		x = 0.68963623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57719 ÷ 217
    57719 ÷ 131072     		y = 0.440361022949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68963623046875 × 2 - 1) × π
    0.3792724609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.19151958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440361022949219 × 2 - 1) × π
    0.119277954101562 × 3.1415926535     		Φ = 0.374722744329979
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19151958} λ = 1.19151958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.374722744329979))-π/2
    2×atan(1.45458806591661)-π/2
    2×0.968522656716548-π/2
    1.9370453134331-1.57079632675     		φ = 0.36624899
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19151958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.269043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36624899 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.984521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90392 KachelY 57719 1.19151958 0.36624899 68.269043 20.984521
    Oben rechts KachelX + 1 90393 KachelY 57719 1.19156751 0.36624899 68.271789 20.984521
    Unten links KachelX 90392 KachelY + 1 57720 1.19151958 0.36620423 68.269043 20.981957
    Unten rechts KachelX + 1 90393 KachelY + 1 57720 1.19156751 0.36620423 68.271789 20.981957
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36624899-0.36620423) × R
    4.4759999999977e-05 × 6371000     		dl = 285.165959999854m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36624899-0.36620423) × R
    4.4759999999977e-05 × 6371000     		dr = 285.165959999854m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19151958-1.19156751) × cos(0.36624899) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.933677206576038 × 6371000     		do = 285.109567164963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19151958-1.19156751) × cos(0.36620423) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.933693234900682 × 6371000     		du = 285.114461606714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36624899)-sin(0.36620423))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933677206576038-0.933693234900682)×R²
    abs(1.19156751-1.19151958)×1.60283246435355e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.60283246435355e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.60283246435355e-05×40589641000000     		ar = 81304.2413034743m²