Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90391 / 57705
↖ ↑ ↗
← N 21.020419°
E 68.266296°		 ← 285.10 m → N 21.020419°
E 68.269043°		 →
↑
285.10 m
↓
↑
285.10 m
↓
N 21.017855°
E 68.266296°		 ← 285.11 m →
81 283 m²		 N 21.017855°
E 68.269043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90391 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57705 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689632415771484 y=0.440258026123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689632415771484 × 217)
    floor (0.689632415771484 × 131072)
    floor (90391.5)     		tx = 90391
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440258026123047 × 217)
    floor (0.440258026123047 × 131072)
    floor (57705.5)     		ty = 57705
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90391 / 57705 ti = "17/90391/57705"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90391/57705.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90391 ÷ 217
    90391 ÷ 131072     		x = 0.689628601074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57705 ÷ 217
    57705 ÷ 131072     		y = 0.440254211425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689628601074219 × 2 - 1) × π
    0.379257202148438 × 3.1415926535     		Λ = 1.19147164
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440254211425781 × 2 - 1) × π
    0.119491577148438 × 3.1415926535     		Φ = 0.37539386092466
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19147164} λ = 1.19147164}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.37539386092466))-π/2
    2×atan(1.45556459175076)-π/2
    2×0.968835922183945-π/2
    1.93767184436789-1.57079632675     		φ = 0.36687552
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19147164} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.266296°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36687552 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.020419°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90391 KachelY 57705 1.19147164 0.36687552 68.266296 21.020419
    Oben rechts KachelX + 1 90392 KachelY 57705 1.19151958 0.36687552 68.269043 21.020419
    Unten links KachelX 90391 KachelY + 1 57706 1.19147164 0.36683077 68.266296 21.017855
    Unten rechts KachelX + 1 90392 KachelY + 1 57706 1.19151958 0.36683077 68.269043 21.017855
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36687552-0.36683077) × R
    4.47500000000378e-05 × 6371000     		dl = 285.102250000241m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36687552-0.36683077) × R
    4.47500000000378e-05 × 6371000     		dr = 285.102250000241m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19147164-1.19151958) × cos(0.36687552) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.933452653091539 × 6371000     		do = 285.10046732526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19147164-1.19151958) × cos(0.36683077) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.933468704010232 × 6371000     		du = 285.105369688979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36687552)-sin(0.36683077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933452653091539-0.933468704010232)×R²
    abs(1.19151958-1.19147164)×1.60509186928337e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.60509186928337e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.60509186928337e-05×40589641000000     		ar = 81283.483561607m²