Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 90388 / 57716
↖ ↑ ↗
← N 20.992214°
E 68.258057°		 ← 285.15 m → N 20.992214°
E 68.260803°		 →
↑
285.17 m
↓
↑
285.17 m
↓
N 20.989650°
E 68.258057°		 ← 285.16 m →
81 317 m²		 N 20.989650°
E 68.260803°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57716 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689609527587891 y=0.440341949462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689609527587891 × 217)
    floor (0.689609527587891 × 131072)
    floor (90388.5)     		tx = 90388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440341949462891 × 217)
    floor (0.440341949462891 × 131072)
    floor (57716.5)     		ty = 57716
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90388 / 57716 ti = "17/90388/57716"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90388/57716.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90388 ÷ 217
    90388 ÷ 131072     		x = 0.689605712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57716 ÷ 217
    57716 ÷ 131072     		y = 0.440338134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689605712890625 × 2 - 1) × π
    0.37921142578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.19132783
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440338134765625 × 2 - 1) × π
    0.11932373046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.374866555028839
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19132783} λ = 1.19132783}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.374866555028839))-π/2
    2×atan(1.45479726628519)-π/2
    2×0.968589791373465-π/2
    1.93717958274693-1.57079632675     		φ = 0.36638326
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19132783} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.258057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36638326 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.992214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90388 KachelY 57716 1.19132783 0.36638326 68.258057 20.992214
    Oben rechts KachelX + 1 90389 KachelY 57716 1.19137577 0.36638326 68.260803 20.992214
    Unten links KachelX 90388 KachelY + 1 57717 1.19132783 0.36633850 68.258057 20.989650
    Unten rechts KachelX + 1 90389 KachelY + 1 57717 1.19137577 0.36633850 68.260803 20.989650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36638326-0.36633850) × R
    4.4759999999977e-05 × 6371000     		dl = 285.165959999854m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36638326-0.36633850) × R
    4.4759999999977e-05 × 6371000     		dr = 285.165959999854m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19132783-1.19137577) × cos(0.36638326) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.933629113961151 × 6371000     		do = 285.154363016942m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19132783-1.19137577) × cos(0.36633850) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.933645147897028 × 6371000     		du = 285.159260193672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36638326)-sin(0.36633850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933629113961151-0.933645147897028)×R²
    abs(1.19137577-1.19132783)×1.60339358774575e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.60339358774575e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.60339358774575e-05×40589641000000     		ar = 81317.0159454992m²