Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 90387 / 57732
↖ ↑ ↗
← N 20.951180°
E 68.255310°		 ← 285.23 m → N 20.951180°
E 68.258057°		 →
↑
285.17 m
↓
↑
285.17 m
↓
N 20.948615°
E 68.255310°		 ← 285.24 m →
81 339 m²		 N 20.948615°
E 68.258057°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90387 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57732 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689601898193359 y=0.440464019775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689601898193359 × 217)
    floor (0.689601898193359 × 131072)
    floor (90387.5)     		tx = 90387
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440464019775391 × 217)
    floor (0.440464019775391 × 131072)
    floor (57732.5)     		ty = 57732
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90387 / 57732 ti = "17/90387/57732"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90387/57732.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90387 ÷ 217
    90387 ÷ 131072     		x = 0.689598083496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57732 ÷ 217
    57732 ÷ 131072     		y = 0.440460205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689598083496094 × 2 - 1) × π
    0.379196166992188 × 3.1415926535     		Λ = 1.19127989
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440460205078125 × 2 - 1) × π
    0.11907958984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.374099564634918
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19127989} λ = 1.19127989}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.374099564634918))-π/2
    2×atan(1.45368187855736)-π/2
    2×0.968231699928881-π/2
    1.93646339985776-1.57079632675     		φ = 0.36566707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19127989} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.255310°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36566707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.951180°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90387 KachelY 57732 1.19127989 0.36566707 68.255310 20.951180
    Oben rechts KachelX + 1 90388 KachelY 57732 1.19132783 0.36566707 68.258057 20.951180
    Unten links KachelX 90387 KachelY + 1 57733 1.19127989 0.36562231 68.255310 20.948615
    Unten rechts KachelX + 1 90388 KachelY + 1 57733 1.19132783 0.36562231 68.258057 20.948615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36566707-0.36562231) × R
    4.4759999999977e-05 × 6371000     		dl = 285.165959999854m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36566707-0.36562231) × R
    4.4759999999977e-05 × 6371000     		dr = 285.165959999854m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19127989-1.19132783) × cos(0.36566707) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.933885443182164 × 6371000     		do = 285.232652560274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19127989-1.19132783) × cos(0.36562231) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.933901447184639 × 6371000     		du = 285.237540594573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36566707)-sin(0.36562231))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933885443182164-0.933901447184639)×R²
    abs(1.19132783-1.19127989)×1.60040024755892e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.60040024755892e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.60040024755892e-05×40589641000000     		ar = 81339.3401547126m²