Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90384 / 57713
↖ ↑ ↗
← N 20.999907°
E 68.247070°		 ← 285.14 m → N 20.999907°
E 68.249817°		 →
↑
285.10 m
↓
↑
285.10 m
↓
N 20.997343°
E 68.247070°		 ← 285.14 m →
81 295 m²		 N 20.997343°
E 68.249817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689579010009766 y=0.440319061279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689579010009766 × 217)
    floor (0.689579010009766 × 131072)
    floor (90384.5)     		tx = 90384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440319061279297 × 217)
    floor (0.440319061279297 × 131072)
    floor (57713.5)     		ty = 57713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90384 / 57713 ti = "17/90384/57713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90384/57713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90384 ÷ 217
    90384 ÷ 131072     		x = 0.6895751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57713 ÷ 217
    57713 ÷ 131072     		y = 0.440315246582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6895751953125 × 2 - 1) × π
    0.379150390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.19113608
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440315246582031 × 2 - 1) × π
    0.119369506835938 × 3.1415926535     		Φ = 0.375010365727699
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19113608} λ = 1.19113608}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.375010365727699))-π/2
    2×atan(1.45500649674118)-π/2
    2×0.968656922571768-π/2
    1.93731384514354-1.57079632675     		φ = 0.36651752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19113608} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.247070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36651752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.999907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90384 KachelY 57713 1.19113608 0.36651752 68.247070 20.999907
    Oben rechts KachelX + 1 90385 KachelY 57713 1.19118402 0.36651752 68.249817 20.999907
    Unten links KachelX 90384 KachelY + 1 57714 1.19113608 0.36647277 68.247070 20.997343
    Unten rechts KachelX + 1 90385 KachelY + 1 57714 1.19118402 0.36647277 68.249817 20.997343
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36651752-0.36647277) × R
    4.47499999999823e-05 × 6371000     		dl = 285.102249999887m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36651752-0.36647277) × R
    4.47499999999823e-05 × 6371000     		dr = 285.102249999887m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19113608-1.19118402) × cos(0.36651752) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.933581008098058 × 6371000     		do = 285.139670248108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19113608-1.19118402) × cos(0.36647277) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.933597044061216 × 6371000     		du = 285.144568044023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36651752)-sin(0.36647277))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933581008098058-0.933597044061216)×R²
    abs(1.19118402-1.19113608)×1.60359631578011e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.60359631578011e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.60359631578011e-05×40589641000000     		ar = 81294.6597518643m²