Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90383 / 57715
↖ ↑ ↗
← N 20.994778°
E 68.244323°		 ← 285.15 m → N 20.994778°
E 68.247070°		 →
↑
285.10 m
↓
↑
285.10 m
↓
N 20.992214°
E 68.244323°		 ← 285.15 m →
81 297 m²		 N 20.992214°
E 68.247070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90383 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57715 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689571380615234 y=0.440334320068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689571380615234 × 217)
    floor (0.689571380615234 × 131072)
    floor (90383.5)     		tx = 90383
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440334320068359 × 217)
    floor (0.440334320068359 × 131072)
    floor (57715.5)     		ty = 57715
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90383 / 57715 ti = "17/90383/57715"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90383/57715.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90383 ÷ 217
    90383 ÷ 131072     		x = 0.689567565917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57715 ÷ 217
    57715 ÷ 131072     		y = 0.440330505371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689567565917969 × 2 - 1) × π
    0.379135131835938 × 3.1415926535     		Λ = 1.19108814
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440330505371094 × 2 - 1) × π
    0.119338989257812 × 3.1415926535     		Φ = 0.374914491928459
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19108814} λ = 1.19108814}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.374914491928459))-π/2
    2×atan(1.45486700642726)-π/2
    2×0.968612168823908-π/2
    1.93722433764782-1.57079632675     		φ = 0.36642801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19108814} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.244323°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36642801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.994778°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90383 KachelY 57715 1.19108814 0.36642801 68.244323 20.994778
    Oben rechts KachelX + 1 90384 KachelY 57715 1.19113608 0.36642801 68.247070 20.994778
    Unten links KachelX 90383 KachelY + 1 57716 1.19108814 0.36638326 68.244323 20.992214
    Unten rechts KachelX + 1 90384 KachelY + 1 57716 1.19113608 0.36638326 68.247070 20.992214
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36642801-0.36638326) × R
    4.47500000000378e-05 × 6371000     		dl = 285.102250000241m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36642801-0.36638326) × R
    4.47500000000378e-05 × 6371000     		dr = 285.102250000241m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19108814-1.19113608) × cos(0.36642801) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.933613081737616 × 6371000     		do = 285.149466363205m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19108814-1.19113608) × cos(0.36638326) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.933629113961151 × 6371000     		du = 285.154363016942m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36642801)-sin(0.36638326))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933613081737616-0.933629113961151)×R²
    abs(1.19113608-1.19108814)×1.60322235349675e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.60322235349675e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.60322235349675e-05×40589641000000     		ar = 81297.4524835615m²