Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90382 / 57718
↖ ↑ ↗
← N 20.987085°
E 68.241577°		 ← 285.10 m → N 20.987085°
E 68.244323°		 →
↑
285.10 m
↓
↑
285.10 m
↓
N 20.984521°
E 68.241577°		 ← 285.11 m →
81 285 m²		 N 20.984521°
E 68.244323°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90382 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57718 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689563751220703 y=0.440357208251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689563751220703 × 217)
    floor (0.689563751220703 × 131072)
    floor (90382.5)     		tx = 90382
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440357208251953 × 217)
    floor (0.440357208251953 × 131072)
    floor (57718.5)     		ty = 57718
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90382 / 57718 ti = "17/90382/57718"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90382/57718.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90382 ÷ 217
    90382 ÷ 131072     		x = 0.689559936523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57718 ÷ 217
    57718 ÷ 131072     		y = 0.440353393554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689559936523438 × 2 - 1) × π
    0.379119873046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.19104021
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440353393554688 × 2 - 1) × π
    0.119293212890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.374770681229599
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19104021} λ = 1.19104021}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.374770681229599))-π/2
    2×atan(1.45465779603002)-π/2
    2×0.968545035319748-π/2
    1.9370900706395-1.57079632675     		φ = 0.36629374
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19104021} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.241577°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36629374 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.987085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90382 KachelY 57718 1.19104021 0.36629374 68.241577 20.987085
    Oben rechts KachelX + 1 90383 KachelY 57718 1.19108814 0.36629374 68.244323 20.987085
    Unten links KachelX 90382 KachelY + 1 57719 1.19104021 0.36624899 68.241577 20.984521
    Unten rechts KachelX + 1 90383 KachelY + 1 57719 1.19108814 0.36624899 68.244323 20.984521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36629374-0.36624899) × R
    4.47499999999823e-05 × 6371000     		dl = 285.102249999887m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36629374-0.36624899) × R
    4.47499999999823e-05 × 6371000     		dr = 285.102249999887m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19104021-1.19108814) × cos(0.36629374) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.933661179962387 × 6371000     		do = 285.104673245684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19104021-1.19108814) × cos(0.36624899) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.933677206576038 × 6371000     		du = 285.109567164963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36629374)-sin(0.36624899))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933661179962387-0.933677206576038)×R²
    abs(1.19108814-1.19104021)×1.60266136510767e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.60266136510767e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.60266136510767e-05×40589641000000     		ar = 81284.6814750444m²