Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90380 / 57709
↖ ↑ ↗
← N 21.010163°
E 68.236084°		 ← 285.12 m → N 21.010163°
E 68.238831°		 →
↑
285.10 m
↓
↑
285.10 m
↓
N 21.007599°
E 68.236084°		 ← 285.12 m →
81 289 m²		 N 21.007599°
E 68.238831°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689548492431641 y=0.440288543701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689548492431641 × 217)
    floor (0.689548492431641 × 131072)
    floor (90380.5)     		tx = 90380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440288543701172 × 217)
    floor (0.440288543701172 × 131072)
    floor (57709.5)     		ty = 57709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90380 / 57709 ti = "17/90380/57709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90380/57709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90380 ÷ 217
    90380 ÷ 131072     		x = 0.689544677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57709 ÷ 217
    57709 ÷ 131072     		y = 0.440284729003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689544677734375 × 2 - 1) × π
    0.37908935546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.19094433
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440284729003906 × 2 - 1) × π
    0.119430541992188 × 3.1415926535     		Φ = 0.37520211332618
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19094433} λ = 1.19094433}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.37520211332618))-π/2
    2×atan(1.45528551749263)-π/2
    2×0.968746425454321-π/2
    1.93749285090864-1.57079632675     		φ = 0.36669652
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19094433} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.236084°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36669652 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.010163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90380 KachelY 57709 1.19094433 0.36669652 68.236084 21.010163
    Oben rechts KachelX + 1 90381 KachelY 57709 1.19099227 0.36669652 68.238831 21.010163
    Unten links KachelX 90380 KachelY + 1 57710 1.19094433 0.36665177 68.236084 21.007599
    Unten rechts KachelX + 1 90381 KachelY + 1 57710 1.19099227 0.36665177 68.238831 21.007599
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36669652-0.36665177) × R
    4.47500000000378e-05 × 6371000     		dl = 285.102250000241m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36669652-0.36665177) × R
    4.47500000000378e-05 × 6371000     		dr = 285.102250000241m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19094433-1.19099227) × cos(0.36669652) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.933516845550205 × 6371000     		do = 285.12007335445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19094433-1.19099227) × cos(0.36665177) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.933532888991388 × 6371000     		du = 285.124973434345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36669652)-sin(0.36665177))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933516845550205-0.933532888991388)×R²
    abs(1.19099227-1.19094433)×1.6043441182334e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6043441182334e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6043441182334e-05×40589641000000     		ar = 81289.0729591007m²