Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90379 / 57724
↖ ↑ ↗
← N 20.971699°
E 68.233338°		 ← 285.13 m → N 20.971699°
E 68.236084°		 →
↑
285.17 m
↓
↑
285.17 m
↓
N 20.969134°
E 68.233338°		 ← 285.14 m →
81 311 m²		 N 20.969134°
E 68.236084°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90379 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57724 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689540863037109 y=0.440402984619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689540863037109 × 217)
    floor (0.689540863037109 × 131072)
    floor (90379.5)     		tx = 90379
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440402984619141 × 217)
    floor (0.440402984619141 × 131072)
    floor (57724.5)     		ty = 57724
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90379 / 57724 ti = "17/90379/57724"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90379/57724.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90379 ÷ 217
    90379 ÷ 131072     		x = 0.689537048339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57724 ÷ 217
    57724 ÷ 131072     		y = 0.440399169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689537048339844 × 2 - 1) × π
    0.379074096679688 × 3.1415926535     		Λ = 1.19089640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440399169921875 × 2 - 1) × π
    0.11920166015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.374483059831879
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19089640} λ = 1.19089640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.374483059831879))-π/2
    2×atan(1.45423946548481)-π/2
    2×0.96841075793868-π/2
    1.93682151587736-1.57079632675     		φ = 0.36602519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19089640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.233338°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36602519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.971699°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90379 KachelY 57724 1.19089640 0.36602519 68.233338 20.971699
    Oben rechts KachelX + 1 90380 KachelY 57724 1.19094433 0.36602519 68.236084 20.971699
    Unten links KachelX 90379 KachelY + 1 57725 1.19089640 0.36598043 68.233338 20.969134
    Unten rechts KachelX + 1 90380 KachelY + 1 57725 1.19094433 0.36598043 68.236084 20.969134
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36602519-0.36598043) × R
    4.4759999999977e-05 × 6371000     		dl = 285.165959999854m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36602519-0.36598043) × R
    4.4759999999977e-05 × 6371000     		dr = 285.165959999854m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19089640-1.19094433) × cos(0.36602519) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.933757329492787 × 6371000     		do = 285.134033661471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19089640-1.19094433) × cos(0.36598043) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.933773348464035 × 6371000     		du = 285.13892524705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36602519)-sin(0.36598043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933757329492787-0.933773348464035)×R²
    abs(1.19094433-1.19089640)×1.6018971248366e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.6018971248366e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.6018971248366e-05×40589641000000     		ar = 81311.2179080861m²