Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90378 / 57690
↖ ↑ ↗
← N 21.058871°
E 68.230591°		 ← 285.03 m → N 21.058871°
E 68.233338°		 →
↑
284.97 m
↓
↑
284.97 m
↓
N 21.056308°
E 68.230591°		 ← 285.03 m →
81 226 m²		 N 21.056308°
E 68.233338°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90378 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57690 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689533233642578 y=0.440143585205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689533233642578 × 217)
    floor (0.689533233642578 × 131072)
    floor (90378.5)     		tx = 90378
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440143585205078 × 217)
    floor (0.440143585205078 × 131072)
    floor (57690.5)     		ty = 57690
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90378 / 57690 ti = "17/90378/57690"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90378/57690.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90378 ÷ 217
    90378 ÷ 131072     		x = 0.689529418945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57690 ÷ 217
    57690 ÷ 131072     		y = 0.440139770507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689529418945312 × 2 - 1) × π
    0.379058837890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.19084846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440139770507812 × 2 - 1) × π
    0.119720458984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.376112914418961
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19084846} λ = 1.19084846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.376112914418961))-π/2
    2×atan(1.4566115969379)-π/2
    2×0.969171480078814-π/2
    1.93834296015763-1.57079632675     		φ = 0.36754663
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19084846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.230591°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36754663 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.058871°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90378 KachelY 57690 1.19084846 0.36754663 68.230591 21.058871
    Oben rechts KachelX + 1 90379 KachelY 57690 1.19089640 0.36754663 68.233338 21.058871
    Unten links KachelX 90378 KachelY + 1 57691 1.19084846 0.36750190 68.230591 21.056308
    Unten rechts KachelX + 1 90379 KachelY + 1 57691 1.19089640 0.36750190 68.233338 21.056308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36754663-0.36750190) × R
    4.47299999999928e-05 × 6371000     		dl = 284.974829999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36754663-0.36750190) × R
    4.47299999999928e-05 × 6371000     		dr = 284.974829999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19084846-1.19089640) × cos(0.36754663) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.933211715319272 × 6371000     		do = 285.026878727871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19084846-1.19089640) × cos(0.36750190) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.933227787082495 × 6371000     		du = 285.031787458047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36754663)-sin(0.36750190))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933211715319272-0.933227787082495)×R²
    abs(1.19089640-1.19084846)×1.60717632232688e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.60717632232688e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.60717632232688e-05×40589641000000     		ar = 81226.1857567148m²