Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90377 / 57771
↖ ↑ ↗
← N 20.851112°
E 68.227844°		 ← 285.42 m → N 20.851112°
E 68.230591°		 →
↑
285.36 m
↓
↑
285.36 m
↓
N 20.848545°
E 68.227844°		 ← 285.43 m →
81 448 m²		 N 20.848545°
E 68.230591°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90377 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57771 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689525604248047 y=0.440761566162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689525604248047 × 217)
    floor (0.689525604248047 × 131072)
    floor (90377.5)     		tx = 90377
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440761566162109 × 217)
    floor (0.440761566162109 × 131072)
    floor (57771.5)     		ty = 57771
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90377 / 57771 ti = "17/90377/57771"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90377/57771.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90377 ÷ 217
    90377 ÷ 131072     		x = 0.689521789550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57771 ÷ 217
    57771 ÷ 131072     		y = 0.440757751464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689521789550781 × 2 - 1) × π
    0.379043579101562 × 3.1415926535     		Λ = 1.19080052
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440757751464844 × 2 - 1) × π
    0.118484497070312 × 3.1415926535     		Φ = 0.372230025549736
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19080052} λ = 1.19080052}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.372230025549736))-π/2
    2×atan(1.45096670232286)-π/2
    2×0.967358440852732-π/2
    1.93471688170546-1.57079632675     		φ = 0.36392055
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19080052} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.227844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36392055 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.851112°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90377 KachelY 57771 1.19080052 0.36392055 68.227844 20.851112
    Oben rechts KachelX + 1 90378 KachelY 57771 1.19084846 0.36392055 68.230591 20.851112
    Unten links KachelX 90377 KachelY + 1 57772 1.19080052 0.36387576 68.227844 20.848545
    Unten rechts KachelX + 1 90378 KachelY + 1 57772 1.19084846 0.36387576 68.230591 20.848545
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36392055-0.36387576) × R
    4.47900000000168e-05 × 6371000     		dl = 285.357090000107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36392055-0.36387576) × R
    4.47900000000168e-05 × 6371000     		dr = 285.357090000107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19080052-1.19084846) × cos(0.36392055) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.934508525779572 × 6371000     		do = 285.422958022348m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19080052-1.19084846) × cos(0.36387576) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.934524467428237 × 6371000     		du = 285.427827012188m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36392055)-sin(0.36387576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934508525779572-0.934524467428237)×R²
    abs(1.19084846-1.19080052)×1.59416486652519e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59416486652519e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59416486652519e-05×40589641000000     		ar = 81448.159434412m²