Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90377 / 57751
↖ ↑ ↗
← N 20.902437°
E 68.227844°		 ← 285.33 m → N 20.902437°
E 68.230591°		 →
↑
285.29 m
↓
↑
285.29 m
↓
N 20.899871°
E 68.227844°		 ← 285.33 m →
81 402 m²		 N 20.899871°
E 68.230591°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90377 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57751 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689525604248047 y=0.440608978271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689525604248047 × 217)
    floor (0.689525604248047 × 131072)
    floor (90377.5)     		tx = 90377
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440608978271484 × 217)
    floor (0.440608978271484 × 131072)
    floor (57751.5)     		ty = 57751
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90377 / 57751 ti = "17/90377/57751"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90377/57751.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90377 ÷ 217
    90377 ÷ 131072     		x = 0.689521789550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57751 ÷ 217
    57751 ÷ 131072     		y = 0.440605163574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689521789550781 × 2 - 1) × π
    0.379043579101562 × 3.1415926535     		Λ = 1.19080052
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440605163574219 × 2 - 1) × π
    0.118789672851562 × 3.1415926535     		Φ = 0.373188763542137
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19080052} λ = 1.19080052}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.373188763542137))-π/2
    2×atan(1.45235846628797)-π/2
    2×0.967806338778112-π/2
    1.93561267755622-1.57079632675     		φ = 0.36481635
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19080052} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.227844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36481635 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.902437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90377 KachelY 57751 1.19080052 0.36481635 68.227844 20.902437
    Oben rechts KachelX + 1 90378 KachelY 57751 1.19084846 0.36481635 68.230591 20.902437
    Unten links KachelX 90377 KachelY + 1 57752 1.19080052 0.36477157 68.227844 20.899871
    Unten rechts KachelX + 1 90378 KachelY + 1 57752 1.19084846 0.36477157 68.230591 20.899871
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36481635-0.36477157) × R
    4.4780000000022e-05 × 6371000     		dl = 285.29338000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36481635-0.36477157) × R
    4.4780000000022e-05 × 6371000     		dr = 285.29338000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19080052-1.19084846) × cos(0.36481635) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.934189299149489 × 6371000     		do = 285.325457992627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19080052-1.19084846) × cos(0.36477157) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.934205274719889 × 6371000     		du = 285.330337343038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36481635)-sin(0.36477157))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934189299149489-0.934205274719889)×R²
    abs(1.19084846-1.19080052)×1.59755704001174e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59755704001174e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59755704001174e-05×40589641000000     		ar = 81402.1603476254m²