Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 90377 / 57707
↖ ↑ ↗
← N 21.015291°
E 68.227844°		 ← 285.11 m → N 21.015291°
E 68.230591°		 →
↑
285.10 m
↓
↑
285.10 m
↓
N 21.012727°
E 68.227844°		 ← 285.12 m →
81 286 m²		 N 21.012727°
E 68.230591°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90377 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57707 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689525604248047 y=0.440273284912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689525604248047 × 217)
    floor (0.689525604248047 × 131072)
    floor (90377.5)     		tx = 90377
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440273284912109 × 217)
    floor (0.440273284912109 × 131072)
    floor (57707.5)     		ty = 57707
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90377 / 57707 ti = "17/90377/57707"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90377/57707.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90377 ÷ 217
    90377 ÷ 131072     		x = 0.689521789550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57707 ÷ 217
    57707 ÷ 131072     		y = 0.440269470214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689521789550781 × 2 - 1) × π
    0.379043579101562 × 3.1415926535     		Λ = 1.19080052
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440269470214844 × 2 - 1) × π
    0.119461059570312 × 3.1415926535     		Φ = 0.37529798712542
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19080052} λ = 1.19080052}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.37529798712542))-π/2
    2×atan(1.45542504793272)-π/2
    2×0.968791174588402-π/2
    1.9375823491768-1.57079632675     		φ = 0.36678602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19080052} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.227844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36678602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.015291°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90377 KachelY 57707 1.19080052 0.36678602 68.227844 21.015291
    Oben rechts KachelX + 1 90378 KachelY 57707 1.19084846 0.36678602 68.230591 21.015291
    Unten links KachelX 90377 KachelY + 1 57708 1.19080052 0.36674127 68.227844 21.012727
    Unten rechts KachelX + 1 90378 KachelY + 1 57708 1.19084846 0.36674127 68.230591 21.012727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36678602-0.36674127) × R
    4.47499999999823e-05 × 6371000     		dl = 285.102249999887m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36678602-0.36674127) × R
    4.47499999999823e-05 × 6371000     		dr = 285.102249999887m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19080052-1.19084846) × cos(0.36678602) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.933484753059595 × 6371000     		do = 285.110271481757m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19080052-1.19084846) × cos(0.36674127) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.933500800239597 × 6371000     		du = 285.115172703584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36678602)-sin(0.36674127))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933484753059595-0.933500800239597)×R²
    abs(1.19084846-1.19080052)×1.60471800018103e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.60471800018103e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.60471800018103e-05×40589641000000     		ar = 81286.2785857561m²