Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90370 / 57858
↖ ↑ ↗
← N 20.627643°
E 68.208618°		 ← 285.79 m → N 20.627643°
E 68.211365°		 →
↑
285.80 m
↓
↑
285.80 m
↓
N 20.625073°
E 68.208618°		 ← 285.79 m →
81 679 m²		 N 20.625073°
E 68.211365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90370 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57858 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689472198486328 y=0.441425323486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689472198486328 × 217)
    floor (0.689472198486328 × 131072)
    floor (90370.5)     		tx = 90370
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441425323486328 × 217)
    floor (0.441425323486328 × 131072)
    floor (57858.5)     		ty = 57858
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90370 / 57858 ti = "17/90370/57858"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90370/57858.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90370 ÷ 217
    90370 ÷ 131072     		x = 0.689468383789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57858 ÷ 217
    57858 ÷ 131072     		y = 0.441421508789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689468383789062 × 2 - 1) × π
    0.378936767578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.19046497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441421508789062 × 2 - 1) × π
    0.117156982421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.368059515282791
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19046497} λ = 1.19046497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.368059515282791))-π/2
    2×atan(1.44492803171533)-π/2
    2×0.965408310012285-π/2
    1.93081662002457-1.57079632675     		φ = 0.36002029
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19046497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.208618°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36002029 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.627643°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90370 KachelY 57858 1.19046497 0.36002029 68.208618 20.627643
    Oben rechts KachelX + 1 90371 KachelY 57858 1.19051290 0.36002029 68.211365 20.627643
    Unten links KachelX 90370 KachelY + 1 57859 1.19046497 0.35997543 68.208618 20.625073
    Unten rechts KachelX + 1 90371 KachelY + 1 57859 1.19051290 0.35997543 68.211365 20.625073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36002029-0.35997543) × R
    4.48600000000354e-05 × 6371000     		dl = 285.803060000226m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36002029-0.35997543) × R
    4.48600000000354e-05 × 6371000     		dr = 285.803060000226m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19046497-1.19051290) × cos(0.36002029) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.935889675841095 × 6371000     		do = 285.785171271054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19046497-1.19051290) × cos(0.35997543) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.935905478773352 × 6371000     		du = 285.789996886528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36002029)-sin(0.35997543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935889675841095-0.935905478773352)×R²
    abs(1.19051290-1.19046497)×1.5802932256892e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.5802932256892e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.5802932256892e-05×40589641000000     		ar = 81678.9660534234m²