Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90365 / 57915
↖ ↑ ↗
← N 20.481055°
E 68.194885°		 ← 286.12 m → N 20.481055°
E 68.197632°		 →
↑
286.12 m
↓
↑
286.12 m
↓
N 20.478482°
E 68.194885°		 ← 286.12 m →
81 866 m²		 N 20.478482°
E 68.197632°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90365 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57915 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689434051513672 y=0.441860198974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689434051513672 × 217)
    floor (0.689434051513672 × 131072)
    floor (90365.5)     		tx = 90365
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441860198974609 × 217)
    floor (0.441860198974609 × 131072)
    floor (57915.5)     		ty = 57915
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90365 / 57915 ti = "17/90365/57915"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90365/57915.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90365 ÷ 217
    90365 ÷ 131072     		x = 0.689430236816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57915 ÷ 217
    57915 ÷ 131072     		y = 0.441856384277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689430236816406 × 2 - 1) × π
    0.378860473632812 × 3.1415926535     		Λ = 1.19022528
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441856384277344 × 2 - 1) × π
    0.116287231445312 × 3.1415926535     		Φ = 0.365327112004448
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19022528} λ = 1.19022528}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.365327112004448))-π/2
    2×atan(1.44098529465139)-π/2
    2×0.964129081800849-π/2
    1.9282581636017-1.57079632675     		φ = 0.35746184
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19022528} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.194885°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35746184 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.481055°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90365 KachelY 57915 1.19022528 0.35746184 68.194885 20.481055
    Oben rechts KachelX + 1 90366 KachelY 57915 1.19027322 0.35746184 68.197632 20.481055
    Unten links KachelX 90365 KachelY + 1 57916 1.19022528 0.35741693 68.194885 20.478482
    Unten rechts KachelX + 1 90366 KachelY + 1 57916 1.19027322 0.35741693 68.197632 20.478482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35746184-0.35741693) × R
    4.49099999999536e-05 × 6371000     		dl = 286.121609999704m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35746184-0.35741693) × R
    4.49099999999536e-05 × 6371000     		dr = 286.121609999704m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19022528-1.19027322) × cos(0.35746184) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.936787936443898 × 6371000     		do = 286.119148711263m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19022528-1.19027322) × cos(0.35741693) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.936803649402433 × 6371000     		du = 286.123947853251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35746184)-sin(0.35741693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936787936443898-0.936803649402433)×R²
    abs(1.19027322-1.19022528)×1.57129585341975e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57129585341975e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57129585341975e-05×40589641000000     		ar = 81865.5580638906m²